Научные направления и результаты исследований позднего советского периода

В данном разделе в реферативной форме представлены основные научные направления математики, которые развивались в БССР примерно в 60-80-ые годы прошлого столетия. Это был расцвет Советской математической школы и, в частности, белорусских математиков. В вузах широко создавались и росли математические кафедры, было получено множество выдающихся результатов мирового уровня.

Понятно, что мы не в состоянии описать все направления и результаты. Это просто невозможно. Подчеркнем, что мы не претендуем на полноту представления достижений. Мы постарались кратко изложить некоторые из полученных результатов. Наша цель была показать значимость, объем и глубину выполненных исследований. В каждом направлении мы выделили одного или несколько ученых, кто, по нашему мнению, был основателем и/или лидером. Понятно, что многие результаты получены этими учеными совместно с их коллегами и учениками.

Алгебра, алгебраические группы (Платонов В. П.)

В. П. Платонов и его ученики внесли огромный вклад в теорию топологических групп, структурную и арифметическую теорию алгебраических групп, приведенную теорию, теорию проконечных групп и комбинаторную теорию групп.

В работах В. П. Платонова в 60-х годах XX в. были созданы новые методы исследования неразрешимых бесконечных линейных групп. В первую очередь это метод алгебраических групп. Сущность этого метода заключается в погружении бесконечной линейной группы в минимальную алгебраическую группу с последующим применением топологических и геометрических соображений, присущих теории алгебраических групп. С помощью этого метода получен ряд важных результатов.

В. П. Платонову в 1965 г. удалось положительно решить проблему сопряженности топологических р-подгрупп Силова для широкого класса топологических групп. Как было показано на примерах, содержательного усиления эта теорема не допускает. Соответствующий аналог был найден и для теоремы Холла.

В. П. Платонов предложил естественное топологические обобщение понятия локально нильпотентных групп. Он ввел класс локально проективно нильпотентных групп. Этот класс значительно шире локально нильпотентных. В результате были получены наиболее полные и законченные результаты в исследовании этого класса групп. Результаты В. П. Платонова о строении топологических групп подвели определенный итог исследованиям классов топологических групп, аналогичным соответствующим классам абстрактных групп, и знаменовали собой в значительной степени завершение развития этого направления.

Наиболее существенные результаты 1962–1967 гг. связаны с анализом строения неразрешимых алгебраических групп и их автоморфизмов. Центральное место здесь принадлежит «теоремам инвариантности». Первая теорема инвариантности утверждает существование максимального инвариантного тора для всякой конечной сверхразрешимой группы рациональных полупростых автоморфизмов связной алгебраической группы, что представляет собой глобальный аналог известной теоремы Бореля–Мостова–Серра об автоморфизмах алгебр Ли. Вторая теорема инвариантности устанавливает существование инвариантной унипотентной борелевской подгруппы для каждой конечной группы унипотентных автоморфизмов связной алгебраической группы. Несколько позже В. П. Платонов исследовал возникающие здесь вопросы рациональности и существенно уточнил теоремы инвариантности. В результате им была доказана важная теорема о разрешимости связной алгебраической группы с почти регулярным автоморфизмом.

Большую роль в развитии научных исследований по алгебре играл семинар «Алгебра и топология», организованный В. П. Платоновым в 1967 г. На этом семинаре выступали не только белорусские математики, но и регулярно делали доклады многие ведущие алгебраисты СССР.

В. П. Платонов занимался проблемой Кнезера-Титса. Им доказана справедливость гипотезы Кнезера–Титса в случае локального поля. Позже В. П. Платонову удалось дать доказательство гипотезы Кнезера–Титса также для функциональных полей и для глобальных полей характеристики 0 для всех групп, исключая некоторые формы групп типа E6 и D4. В своей наиболее общей форме гипотеза Кнезера–Титса зависит от проблемы Таннака–Артина, которая была решена В. П. Платоновым отрицательно.

В. П. Платонов занимался проблемой рациональности групповых алгебраических многообразий и в 1977 г. доказал, что если многообразие, определяемое группой SL (n, T) является рациональным над k (здесь k – центр тела T), то существует такое число m, что элементы группы SL (n, T) представимы в виде произведения не более чем m коммутаторов группы GL (n, T). В частности, в этом случае SK1 (T) = 1.

Работы В. П. Платонова по построению приведенной K-теории составляют важную часть цикла работ, за который ему присуждена Ленинская премия 1978 г.

Неожиданным для специалистов оказалось отрицательное решение проблемы Таннака-Артина, данное В. П. Платоновым. Контрпример был найден для случая, когда поле является полем формальных степенных рядов от двух переменных. Вскоре после отрицательного решения проблемы Таннака–Артина В. П. Платонову и В. И. Янчевскому удалось показать, что аналогичная проблема в эрмитовой ситуации также решается отрицательно, а именно было показано, что так называемая приведенная унитарная группа Уайтхеда простой конечномерной алгебры А с инволюцией, действующей не тождественно на центре, не всегда тривиальна. Ввиду этого возникла необходимость изучения групп G. Дальнейшие   результаты в этом направлении получены В. И. Янчевским.

Совместно с В. И. Янчевским В. П. Платонов доказал справедливость гипотезы Хардера, получив, таким образом, первый достаточно общий результат о строении анизотропных групп.

В работах В. П. Платонова и В. В. Беняш-Кривца решена проблема конечной порожденности колец характеров Фрике ряда классов конечно порожденных групп.

В. П. Платоновым совместно со своими учениками В. И. Черноусовым и А. С. Рапинчуком получен ряд фундаментальных результатов в области рациональности групповых многообразий, классификации максимальных арифметических подгрупп односвязных групп, представлений фундаментальных групп компактных неориентируемых поверхностей.

После отъезда В. П. Платонова и его двух, наверное, лучших учеников (В. И. Черноусов, А. С. Рапинчук) в начале 90-х годов за границу, исследования в области алгебры в Беларуси возглавил В. И. Янчевский.

Геометрия, топология (Ведерников В. И., Феденко А. С.)

Тематика научных исследований В.И. Ведерникова включала: геометрия G-структур на гладких многообразиях, однородные пространства групп Ли, групповые свойства дифференциальных уравнений, обобщенные симметрические пространства (однородные Ф-пространства), глобальные пары и порождаемые ими гeометрии и др. Теория симметрических пространств с ее многочисленными приложениями стала основой для поиска содержательных обобщений. История возникновения и разные подходы в изучении обобщенных симметрических пространств изложены в монографиях и обзорах  В. И. Ведерникова  и А. С. Феденко. Первые и геометрически мотивированные обобщения симметрических пространств возникли в работах В. И. Ведерникова в середине 1960-х годов.

Описание и изучение инвариантных аффинорных структур (в частности, почти комплексных) на однородных пространствах являлось и продолжает оставаться актуальной задачей в современной дифференциальной геометрии. При этом с конца 60-х годов значительную роль стали играть обобщенные симметрические пространства (однородные Ф-пространства). В. И. Ведерниковым была построена каноническая структура почти произведения P (P2 = 1) на однородных Ф-пространствах порядка 5 и исследованы ее общие свойства.

Задача поиска и описания всех канонических структур классических типов была решена В. И. Ведерниковым на произвольных регулярных Ф-пространствах. В частности, для однородных k-симметрических пространств предъявлены вычислительные формулы. Канонические структуры наиболее точно отражают специфику однородных Ф-пространств, поскольку инвариантны не только относительно транзитивно действующей группы, но и относительно «симметрий» самого пространства, порождаемых автоморфизмом Ф группы Ли G.

Метод описания классических канонических структур, предложенный В. И. Ведерниковым, может быть использован для построения инвариантных канонических структур некоторых неклассических типов.

В. И. Ведерниковым был введен новый класс приближенно келеровых f-структур (NKf–структур), включающий классические приближенно келеровы структуры и киллинговы f-структуры Грицанса-Кириченко. Рассмотрение этой и более общей ситуации показало, что канонические f-структуры входят в число и других важнейших классов обобщенной эрмитовой геометрии как инвариантные структуры на однородных псевдоримановых многообразиях.

А. С. Феденко была решена классическая задача о классификации симметрических однородных пространств с некомпактными полупростыми основными группами. Он разработал метод предельного перехода в теории групп Ли, однородных и римановых пространств, нашедший применение в математике и теоретической физике; построена оригинальная теория обобщенных симметрических пространств, которая сейчас также широко используется в теоретической физике. В книгах по современной дифференциальной геометрии работы А. С. Феденко характеризуются как основополагающие в указанных областях.

Дифференциально-геометрические структуры на гладких многообразиях, наделенных слоением, исследовал И. В. Белько. Аппарат этих исследований базируется на систематическом использовании группоидов Ли и слоеных группоидов Ли.

К числу важнейших геометрических структур относят тензорные поля типов (1,1) (аффинорные структуры) и (0,2) (псевдоримановы метрики). Традиционной в дифференциальной геометрии является задача классификации инвариантных структур этих и других типов на однородных многообразиях G/H. Как правило, эффективное решение такой задачи становится реальным при существенных ограничениях на группу Ли G и подгруппу изотропии H. Исследования в этом направлении проводил С. Г. Кононов. Им получено описание в терминах изотипных компонент строения изотропного представления однородных пространств полупростых групп Ли с регулярными подгруппами изотропии. Вычислены алгебры инвариантных аффиноров для пространств указанного вида в случае, когда основная группа есть простая группа типа Al. Указаны условия существования инвариантных метрик на рассматриваемых пространствах.

В 80-х годах в работах В. И. Ведерникова и С. В. Ведерникова были заложены основы нового направления, которое базируется на рассмотрении так называемых глобальных пар. С их помощью порождается серия G-пространств, а затем методом последовательного построения и изучения морфизмов этих G-пространств исследуется геометрия рассматриваемого базового пространства.

Для специальных групп Ли развитием этого метода и его конкретизацией занимался В. В. Суворов. Им построено специальное семейство морфизмов однородных пространств, порожденных глобальной парой, найдены касательные расслоения и редуктивные разложения для некоторых однородных пространств при помощи построенных полиномиальных морфизмов.

Большое значение для научных исследований геометров имело проведение в 1979 в Минске VII Всесоюзной геометрической конференции (председатель оргкомитета – А. С. Феденко). Исследования этого периода связаны в основном с именами В. И. Ведерникова и его учеников, а также А. С. Феденко и И. В. Белько, об их интенсивности свидетельствует большое количество и научных публикаций, и защищенных в это время диссертаций.

Действительный и комплексный анализ (Гахов Ф. Д., Зверович Э. И.)

В 1961 г. на работу в БГУ из Ростовского университета приезжает профессор Федор Дмитриевич Гахов. В Минске он начал изучение нового класса интегральных уравнений со степенными, логарифмическими и степенно-логарифмическими ядрами. Исследованием таких уравнений занимались также его ученики К. Д. Сакалюк, С. Г. Самко, Ф. В. Чумаков, А. А. Килбас и И. Л. Васильев. Значительные результаты были получены С. Г. Самко, в докторской диссертации которого содержится наиболее полное исследование этих уравнений, а также построена теория некоторых их многомерных обобщений, опирающаяся на аппарат гиперсингулярных интегралов.

Начиная с 1968 г. Федор Дмитриевич много внимания уделяет нелинейным краевым задачам. Затем эти исследования в Минске продолжили его ученики И. И. Комяк и Н. А. Рысюк.

В последние годы Ф. Д. Гахов занимался еще тремя задачами:

1. В соавторстве с В. И. Смагиной (Азаматовой) изучал исключительные случаи интегральных уравнений первого рода.
2. Вместе с В. А. Какичевым исследовал некоторые вырожденные двумерные краевые задачи и бисингулярные интегральные уравнения.
3. Совместно с С. Г. Самко и Э. И. Зверовичем обобщил принцип аргумента на случай аналитических функции с особенностями на границе.

Федор Дмитриевич был очень щедрым на постановку новых задач. Отметим несколько интересных направлении, которыми под влиянием Ф. Д. Гахова занимались его ученики и последователи.

Граничные задачи для полигармонических функций исследовали М. П. Ганин и В. С. Рогожин, а для полианалитических функций – М. П. Ганин, В. А. Габринович и И. А. Соколов. А. Д. Алексеев изучал задачи и уравнения на контуре с бесконечным множеством угловых точек.

Краевые задачи в классе обобщенных (в смысле И. Н. Векуа) аналитических функций систематически исследовал Л. Г. Михайлов – академик АН Таджикистана.

Изучением краевых задач со сдвигом и сопряжением занимались многие ученики Федора Дмитриевича: Э. И. Зверович, Г. С. Литвинчук, Л. Г. Михайлов, Л. П. Примачук, В. С. Рогожин, С. Г. Самко, Л. И. Чибрикова, Э. Г. Хасабов и др. Результаты, полученные в этом направлении до 1977 г., подытожены в обстоятельной монографии Г. С. Литвинчука, который добился наиболее существенных успехов в исследовании таких задач. Эта тематика в последующие годы активно разрабатывалась в Одессе, Ростове-на-Дону, Минске, Казани и некоторых других научных центрах.

Решение краевых задач в классе обобщенных функций (распределений) было начато Ю. И. Черским и продолжено В. С. Рогожиным. Абстрактная теория краевой задачи Римана в банаховых пространствах разрабатывалась Ю. И. Черским и С. Г. Самко.

Работы Ф. Д. Гахова, А. В. Месис и Л. И. Чибриковой были первым серьезным вкладом в самостоятельную теорию краевых задач на римановых поверхностях. Общая постановка таких задач и схема их решения были предложены Э. И. Зверовичем. Основные результаты по этой тематике были проанализированы в обзорах Э. И. Зверовича и Л. И. Чибриковой.

Принципиально новые результаты в направлении расширения класса допустимых коэффициентов (в скалярном и матричном случаях) задачи Римана были получены И. Б. Симоненко, который стал ведущим специалистом в этой области. Им же разработан новый локальный метод изучения линейных операторов, позволяющий исследовать на нетеровость широкие классы операторов, в том числе сингулярных, полисингулярных, составных операторов типа свертки и т.д.

К исследованию краевой задачи Римана с бесконечным индексом Федор Дмитриевич привлек Н. В. Говорова, которому принадлежат основополагающие результаты в этом направлении. Разработкой теории краевых задач с бесконечным индексом занимались их ученики П. Г. Юров, З.-П. Ю. Алекна, А. Г. Алехно, М. И. Журавлева, С. В. Рогозин, И. Е. Сандригайло, М. Э. Толочко, а также в случае счетного множества контуров некоторые ученики Л. И. Чибриковой. По этой тематике накоплен обширный материал.

Под влиянием Федора Дмитриевича исследованием краевых задач для аналитических функций многих переменных занимались И. Б. Симоненко, В. А. Какичев и их ученики. Успешно изучал двумерные сингулярные интегральные уравнения безвременно ушедший из жизни минский ученик Федора Дмитриевича И. И. Комяк, который был близок к завершению докторской диссертации.

Исследованием интегральных уравнений первого рода, ядрами которых являются специальные функции, много занимался О. И. Маричев.

Следующий этап в развитии теории краевых задач начался в 1975 г. в связи с переходом на работу в БГУ доктора физико-математических наук Э. И. Зверовича – специалиста по данному научному направлению. Он заведовал кафедрой теории функций с 1975 по 2002 гг. Начиная с 1975 г. расширилось изучение других направлений анализа (теория приближений, теория специальных функций, теория дробного интегродифференцирования, методика преподавания вещественного и комплексного анализа в университетах).

Очень активные и плодотворные научные исследования в области специальных функций и их приложений проводил на кафедре профессор О. И. Маричев – ученик Ф. Д. Гахова. Он защитил докторскую диссертацию, стал профессором кафедры и организовал свою научную школу. За период работы на кафедре подготовил 3 доктора наук (Ву Ким Туан, Ю. Ф. Лучко, С. Б. Якубович) и не менее 10 кандидатов наук.

Дифференциальные уравнения (Еругин Н. П., Лукашевич Н. А., Яблонский А. И.)

Существенный вклад в развитие теории дифференциальных уравнений и в целом математики в Беларуси внес академик Н. П. Еругин. Еще в ленинградский период своей деятельности (1946-1956 гг.) глубокие результаты, полученные Н. П. Еругиным при решении проблемы Пуанкаре, развитии теории приводимых систем и теории устойчивости сразу вывели его в ряд ведущих специалистов по теории дифференциальных равнений. В 1956г. Н. П. Еругин избирается академиком АН БССР и возглавляет кафедру дифференциальных уравнений Белорусского государственного университета и Институт математики Академии Наук Беларуси.

Продолжая и развивая идеи классиков аналитической теории дифференциальных уравнений, Н. П. Еругин впервые поставил задачу общей классификации систем дифференциальных уравнений по характеру их подвижных особых точек. Он выделил системы двух дифференциальных уравнений общего вида, которые не имеют подвижных особенностей типа существенных, создав и метод выделения таких систем. Проводя работы в этом направлении, он выделил классы систем, решениями которых являются целые функции. Н. П. Еругин предложил исследовать не только характер подвижных особых точек решений дифференциальных уравнений и систем, но также выяснить их количество, конфигурацию, изучить структуру решений в окрестности подвижных особенностей и строить сами решения в виде сходящихся или асимптотических рядов. В этот период Н. П. Еругиным опубликовано несколько крупных работ на эту тематику.

Н. П. Еругин широко развил и получил глубокие результаты в исследовании подвижных особенностей на вещественной оси, показал существенное отличие таких исследований на комплексной плоскости и на вещественной оси. К вопросам качественной теории Н. П. Еругин обратился еще в период общего подъема интереса к классической качественной теории и теории нелинейных колебаний.

Работам Н. П. Еругина в этом направлении присуща органическая связь с другими разделами теории дифференциальных уравнений: теорией устойчивости, аналитической теорией, линейными системами. Работа Н. А. Еругина по определению устойчивости в целом автономной системы на плоскости получила в дальнейшем значительное развитие в работах других математиков по качественному исследованию в целом и была обобщена на системы больших размерностей.

Исследования Н. П. Еругина о построении систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую, предвосхитили работы по построению систем, имеющих заданное программное движение, по решению задач управления, обратных задач динамики и послужила стимулом к появлению этих работ. В небольшой по объему работе об интегрировании вещественной автономной системы на плоскости, сводящейся к одному уравнению в комплексной области, заложена идея расширения фазового пространства автономной системы в комплексную область.

Особо следует отметить также весьма полезный труд Н. П. Еругина по освоению научного наследия A. M. Ляпунова и И. А. Лаппо-Данилевского и по привлечению внимания к идеям А. М. Ляпунова.

В 1982 г. Н. П. Еругин завершает цикл своих замечательных работ по проблеме Римана. Решая проблему Римана, академик Еругин Н. П. пришел к выводу о необходимости более детального изучения аналитических свойств решений дифференциальных уравнений и систем, особенно по вопросам исследования характера подвижных особых точек уравнений и систем в комплексной плоскости. Многие из его идей воплощены в его работах, посвященных решению проблемы Римана, а также связанных с аналитической теорией дифференциальных уравнений. В изданной в 1982 г. монографии «Проблемы Римана» Н. П. Еругин изложил все об этой проблеме: историю вопроса, привел различные формулировки проблемы, подходы многих математиков к ее решению, дал решение проблемы в формулировке Лаппо-Данилевского.

Ученики Н. П. Еругина продолжали исследования на кафедре дифференциальных уравнений в основном по трем научным направлениям: аналитической, асимптотической и качественной теории дифференциальных уравнений.

Существенный вклад в развитие аналитической теории дифференциальных уравнений внес доктор физико-математических наук, профессор Н. А. Лукашевич, который был заведующим кафедрой дифференциальных уравнений с 1972 по 1992 годы. Под его руководством защищена I докторская и 31 кандидатская диссертации.

Н. А. Лукашевичем впервые начато систематическое исследование нелинейных уравнений Пенлеве, которые нашли широкое применение в теоретической и математической физике. Предметом его исследований была задача отыскания условий отсутствия у решений алгебраических уравнений подвижных критических точек, т.е. задача о выделении уравнений со свойством Пенлеве. Н. А. Лукашевич получил также необходимые и достаточные условия наличия свойства Пенлеве для некоторых полиномиальных систем дифференциальных уравнений. Им продолжено начатое Н. П. Еругиным и А. И. Яблонским изучение свойств решений уравнений Пенлеве, которые являются каноническими уравнениями второго порядка с неподвижными критическими особыми точками и которые в настоящее время имеют широкие приложения.

Ученик Н. П. Еругина Анатолий Иосифович Яблонский получил важные и глубокие результаты в аналитической и качественной теории дифференциальных уравнений. Им проведено детальное исследование свойств решений уравнений Пенлеве. Получили дальнейшее развитие методы классификации систем нелинейных дифференциальных уравнений по характеру их подвижных особых точек. Изучена структура решений в зависимости от параметров у некоторых специальных систем, имеющих различные приложения (модели генетики, циклические системы и др.). Изучены свойства решений дифференциальных уравнений с экспоненциальной правой частью, дано представление решений дифференциальных систем в виде рядов экспонент от независимого переменного. Им исследовано качественное поведение интегральных кривых некоторых классов автономных двумерных систем. Показано, что во многих случаях по поведению некоторых интегральных кривых можно судить о поведении интегральных кривых во всей плоскости. Он подготовил более 20 кандидатов и 2 докторов наук.

В настоящее время идеи Н. А. Еругина широко развиваются его учениками и вообще школой по теории дифференциальных уравнений, созданной им в Беларуси.

Дифференциальные системы (Богданов Ю. С., Грудо Э. И.)

Для научной деятельности Ю. С. Богданова характерно глубокое проникновение в сущность рассматриваемых проблем и разнообразие научных интересов. Им получен ряд основополагающих результатов в современной асимптотической теории обыкновенных дифференциальных уравнений и систем, одним из создателей которой он по праву считается.

Ю. С. Богдановым построена абстрактная теория норм Ляпунова; получен критерий Басова–Гробмана–Богданова правильности линейных систем; решена задача о существовании аппроксимирующей последовательности для правильных систем; доказана асимптотическая эквивалентность линейных систем кусочно-постоянным системам, коэффициенты которых принимают лишь два значения; введены аналоги преобразований Ляпунова и характеристических показателей для нелинейных систем.

Ю. С. Богдановым доказано, что всякая линейная система вида с кусочно-непрерывными и ограниченными коэффициентами эквивалентна относительно преобразований Ляпунова некоторой кусочно-постоянной системе, коэффициенты которой принимают всего лишь два значения; им введены понятия асимптотических инвариантов и индексов линейных систем,  позволяющие классифицировать эти системы при преобразованиях Ляпунова.

Он указал также на возможность эффективного построения для правильной системы (с ограниченной на всей полуоси производной матрицы коэффициентов) такой кусочно-постоянной возмущённой системы, что получающиеся при этом возмущения будут заведомо принадлежать классу указанных выше допустимых возмущений. При этом выведены формулы нескольких типов (в том числе и эффективные) для вычисления характеристических показателей возмущённой системы, а, следовательно, при допустимых возмущениях, и для исходной системы.

Ю. С. Богдановым решена задача о существовании аппроксимирующей последовательности К. П. Персидского для правильных систем и показано, что существуют правильные системы, для которых аппроксимирующую последовательность построить нельзя, но, тем не менее, каждую двумерную систему преобразованием Ляпунова можно перевести в систему, для которой такая последовательность уже есть. Им изучен ряд случаев сохранения характеристических показателей линейной системы при возмущениях её матрицы коэффициентов. В частности, показано, что характеристические показатели системы сохраняются, если сумма характеристического показателя матрицы возмущений и коэффициента неправильности Ляпунова отрицательна.

Ю. С. Богдановым построена абстрактная теория норм Ляпунова– Богданова, получен критерий Басова–Гробмана–Богданова правильности линейных систем, состоящий в их приводимости к диагональным стационарным системам с помощью обобщённого преобразования Ляпунова – Богданова. Наконец, им выполнен большой цикл работ (совместно с М. П. Богдановой) по построению для нелинейных систем аналогов преобразований Ляпунова и характеристических показателей (vd-преобразования и vd-числа) и разработке универсального метода исследования асимптотической устойчивости существенно нелинейных систем.

Ряд исследований по асимптотической теории дифференциальных систем выполнен учениками Ю. С. Богданова. Проблемы устойчивости решений и инвариантных множеств систем изучались в работах В. Г. Скатецкого (устойчивость решений линейных периодических систем с возмущениями, содержащими малый параметр, а также систем с матрицей Лаппо–Данилевского и стохастическими возмущениями), В. Н. Лаптинского, проведшего глубокие исследования линейных систем с периодическими коэффициентами.

Профессор Ю. С. Богданов в 60-70 гг. читал многочисленные специальные курсы по различным направлениям современной асимптотической теории дифференциальных уравнений и осуществлял в это время научное руководство аспирантами кафедры дифференциальных уравнений. Среди его учеников более 40 кандидатов наук, пятеро из них доктора наук и профессора, среди которых академик НАН Беларуси Н. А. Изобов.

Эдуард Иосифович Грудо в 1973 году защитил докторскую диссертацию на тему «Исследование аналитических свойств решений некоторых дифференциальных систем первым методом Ляпунова».

Э. И. Грудо внес существенный вклад в аналитическую теорию дифференциальных уравнений, создал новое направление в теории систем Пфаффа – теорию характеристичных векторов. Большой интерес представляют его результаты по качественной теории, а также по интегро-дифференциальным и дифференциально-функциональным уравнениям. Исследовал аналитические, качественные и асимптотические свойства интегральных многообразий дифференциальных систем. Ввел понятие характеристичного вектора функций многих переменных, изучил свойства характеристичных векторов и дал их приложение к изучению решений систем Пфаффа. Изучил аналитическую и асимптотическую структуру интегральных многообразий в окрестности положения равновесия обыкновенных дифференциальных систем и систем Пфаффа в различных критических случаях. Исследовал периодические решения периодических систем в общем критическом случае, развил аналитическую теорию систем Пфаффа в окрестности подвижных и неподвижных особых точек.

Эдуард Иосифович Грудо подготовил семь кандидатов наук.

Теория групп (Супруненко Д. А.)

Научные интересы Д. А. Супруненко относятся к следующим направлениям: линейные группы, коммутативные алгебры матриц, группы подстановок, вопросы математической кибернетики.

Построенная Д. А. Супруненко теория разрешимых линейных групп основана на детальном исследовании свойств введенного им инвариантного ряда, называемого рядом Супруненко. Эта теория позволила ему получить также все ранее известные результаты о разрешимых линейных группах, в том числе классические теоремы Цассенхауза и Мальцева. Одним из основных результатов в теории разрешимых линейных групп является теорема Супруненко о конечности числа классов сопряженных максимальных разрешимых подгрупп полной линейной группы над алгебраически замкнутым полем.

Д. А. Супруненко положил начало изучению линейных локально-нильпотентных групп. В этом направлении центральными являются его теоремы о конечности индекса центра неприводимой нильпотентной линейной группы, о сопряженности неприводимых максимальных локально нильпотентных линейных групп над алгебраически замкнутым полем. В случаях, когда основное поле алгебраически замкнуто, конечно, или является полем действительных чисел, им получена их полная классификация. Д. А. Супруненко получил полное описание максимальных нильпотентных подгрупп симметрической группы Sn.

В начале 60-х годов Д. А. Супруненко начал исследование периодических линейных групп. Он получил полное описание р-подгрупп Силова полной линейной группы над алгебраически замкнутым полем и доказал их сопряженность. Им также установлена конечность числа классов сопряженности тг-подгрупп Силова полной линейной группы над нолем комплексных чисел (тг – произвольное множество простых чисел).

Начиная с 60-х годов наряду с чисто алгебраическими исследованиями, Д. А. Супруненко уделяет большое внимание применению алгебраических методов к решению конкретных прикладных задач.

В начале 70-х годов Д. А. Супруненко начал исследование минимальных неприводимых линейных групп, т.е. неприводимых групп, все собственные подгруппы которых приводимы.

Наиболее важным итогом исследований Д. А. Супруненко было создание основ теории максимальных разрешимых и максимальных локально нильпотентных линейных групп. Д. А. Супруненко получил полную классификацию максимальных разрешимых линейных групп в случае, когда степень матриц – простое число, а основное поле алгебраически замкнуто или конечно. Одним из основных результатов о разрешимых линейных группах является теорема о том, что над алгебраически замкнутым полем максимальные разрешимые подгруппы полной линейной группы разбиваются на конечное число классов сопряженных подгрупп. В конце 60-х годов Д. А. Супруненко получил полную классификацию минимальных неприводимых разрешимых подгрупп полной линейной группы простой степени над алгебраически замкнутым полем. В частности, он установил, что такая подгруппа конечна.

В рамках исследований локально нильпотентных линейных групп Д. А. Супруненко и Р. И. Тышкевич исследовали нильпотентные линейные группы, максимальные среди групп заданного класса нильпотентности. Как оказалось, число таких подгрупп, в случае алгебраически замкнутого поля, конечно (с точностью до сопряженности).

В работах Д. А. Супруненко и М. С. Гаращука рассмотрен вопрос об эквивалентности в классе линейных групп некоторых теоретико-групповых свойств, обобщающих свойство нильпотентности в конечных группах. В частности, доказано, что свойство локальной нильпотентности эквивалентно для линейных групп условию Эн-геля, нормализаторному условию, наличию верхнего центрального ряда.

Работы Д. А. Супруненко по линейным группам оказали большое влияние на последующие исследования в этой области. Характерной особенностью научного творчества Д. А. Супруненко является его стремление к изяществу и красоте, к получению конкретных формул и арифметических соотношений, явных решений.

Теория вероятностей и математическая статистика (Медведев Г. А.)

Полученные Г. А. Медведевым научные результаты многогранны и охватывают многие разделы прикладной математики. Им вместе с учениками получены следующие результаты:

• развита теория марковских процессов для вероятностного анализа систем и сетей массового обслуживания, с помощью которой решены задачи анализа и оптимизации сетей связи и, в частности, связных информационных систем с использованием искусственных спутников Земли и цифровых сетей интегрального обслуживания;
• разработана теория рекуррентного статистического оценивания параметров случайных процессов и полей, описываемых регрессионными и авторегрессионными моделями;
• развита теория вероятностного анализа экстремальных стохастических систем и синтеза оптимальных систем автоматического управления;
• разработаны адаптивные алгоритмы управления в самонастраивающихся системах;
• разработаны методы обнаружения, классификации и оценивания параметров радиосигналов в условиях шумов высокого уровня;
• разработана прикладная теория местоопределения радиотехнических средств методами пассивной пеленгации с движущегося носителя;
• развита теория стохастической финансовой математики, позволившая создать стохастические безарбитражные многофакторные модели временной структуры процентных ставок и оптимизировать инвестиционные стратегии.

В советский период был научным руководителем более 30 научно-исследовательских работ, проводившихся через Секцию прикладных проблем Президиума АН СССР по заданиям Правительства.

Под руководством Г. А. Медведева в БГУ через аспирантуру и соискательство подготовлено 38 кандидатов наук, 8 из которых стали профессорами или докторами. Подготовленные в БГУ кандидаты наук работают не только в Республике Беларусь, но и за ее пределами (Алжир, Вьетнам, Казахстан, Корея, Литва, Россия, Сирия, Франция).

Среди его учеников директор НИИ ППМИ БГУ чл.-корр. НАН Беларуси Ю. С. Харин, профессор А. Н. Дудин, профессор Ю. В. Малинковский, профессор М. А. Маталыцкий, профессор В. И. Клименок и многие другие

На протяжении многих лет кафедрой проводится международная научная конференция «Теория вероятностей, случайные процессы, математическая статистика и приложения».

Функциональный анализ (Радыно Я. В., Антоневич А. Б.)

Областью интересов проф. Я. В. Радыно были дифференциальные уравнения в банаховых и локально выпуклых пространствах. Речь идет о разрешимости и изучении свойств этого уравнения. Общая теория, когда E и E1 – банахово пространство, а A – ограниченный оператор, хорошо разработана. Если E2– банахово пространство, а B – неограниченный оператор, общая теория тоже богата, однако сложнее и, поэтому, беднее предыдущей. В случае, когда – не нормируемое пространство, картина существенно усложняется.

В цикле работ профессора Я. В. Радыно выделен специальный класс операторов, названных регулярными, и для этого класса построена теория, аналогичная теории дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с ограниченными операторами. Установлены теоремы о разрешимости, а также о свойствах решений (устойчивость, периодичность, почти периодичность и т.п.). За этот цикл работ Я. В. Радыно в 1978 году была присуждена премия Ленинского комсомола Белоруссии.

В 80-ые годы Я. В. Радыно был предложен метод, позволяющий сводить исследование уравнения с неограниченным оператором в банаховом пространстве к такому же уравнению с ограниченным оператором в банаховом пространстве, либо с регулярным оператором в подходящем локально выпуклом пространстве. В это же время были построены основы теории дифференциальных уравнений в дискретных шкалах банаховых пространств. Эта теория потом была развита в работах ученика Я. В. Радыно – В. И. Назарова. Теория дифференциальных уравнений в банаховых шкалах (непрерывных) началась с работ Л. В. Овсянникова. Эти работы вошли в цикл, за который в 1996 году Я. В. Радыно совместно с профессорами В. И. Корзюком и Н. И. Юрчуком была присуждена Государственная премия Республики Беларусь.

Ими также была построена алгебра мнемофункций, которая содержит пространство Шварца медленно растущих распределений и на которой везде определены свертка и обратимое преобразование Фурье. Исследовались алгебры мнемофункций с соответствующими в них интегральными преобразованиями Лапласа, Меллина, Ханкеля.

Теория мнемофункций, как уже отмечалось выше, позволяет корректно ставить задачи о нахождении разрывных решений нелинейных дифференциальных уравнений, а также уравнений с разрывными и обобщенными коэффициентами. Первыми работами в этом направлении были работы учеников проф. Я. В. Радыно Нгуен Хой Нгиа и Нго Фу Тханя, в которых изучалась задача Коши в различных пространствах мнемофункций.

Под его руководством защищены 15 кандидатских диссертаций.

Сфера научных интересов проф. А. Б. Антоневича связана с теорией функциональных операторов и операторных алгебр, умножение обобщенных функций.

Первые результаты были получены А. Б. Антоневичем, А. В. Лебедевым и В. В. Беннером еще в 70-е годы, в дальнейшем в обширном цикле работ А. Б. Антоневича, А. В. Лебедева и их учеников разработано новое направление теории нелокальных операторов, позволившие получить ответы на базовые вопросы. В основном рассматривались операторы в гильбертовых пространствах, когда соответствующие операторные алгебры являются С*-алгебрами, что позволило использовать весьма развитую теорию таких алгебр. Свойства рассматриваемых алгебр в значительной мере определяются динамикой отображений gk, определяющих характер нелокальности, и при исследовании оказались существенными вопросы, рассматривамые в теории динамических систем. Кроме того, естественно, что свойства рассматриваемых операторов зависят от заданного исходного класса коэффициентов ak.

А. Б. Антоневичем и Я. В. Радыно была предложена общая схема построения алгебр, содержащих пространство распределений, в которой алгебра бесконечно дифференцируемых функций лежит как подалгебра. Предложенный метод позволяет строить не одну, а разные алгебры с заданными дополнительными свойствами. Введенные объекты были названы мнемофункциями.

Ряд специальных вопросов теории функциональных операторов был рассмотрен в многочисленных статьях и выполненных под руководством А. Б. Антоневича диссертациях С. А. Ло, Нгуен Туан Хунга, Данг Хань Хоя, М. В. Белоусова, Данг Суан Тханя, М. В. Щукина, И. Ходжай, У. Осташевской, А. Н. Глаз, Е. Ю. Леоновой, Али Шукура. Различными вопросами уравнений в мнемофункциях занимались ученики проф. А. Б. Антоневича. Так, например, в работе Н. В. Фурсенко построена алгебра мнемофункций, порожденных пространствами Соболева и даны приложения к построению слабых решений уравнений Шредингера с ?-потенциалом.

А. Б. Антоневич  подготовил 27 кандидатов наук, из которых 3 стали докторами наук.

Теория графов (Тышкевич Р. И.)

В наши дни теория графов является одним из наиболее бурно развивающихся разделов математики, что вызвано запросами стремительно расширяющейся области приложений. Огромный вклад в развитие данного направления внесла Регина Иосифовна Тышкевич и ее ученики.

Декомпозиционные методы – один из базовых подходов исследовательской группы проф. Р. И. Тышкевич. Другой развиваемый подход к исследованию дискретных моделей – теория представлений. Здесь исследуемый объект представляется как производная структура от другого объекта. Наличие такого представления позволяет прогнозировать свойства рассматриваемых моделей или строить сами модели.

Наиболее важные полученные научные результаты состоят в следующем:

• Разработана теория операторной декомпозиции графов – нового декомпозиционного метода, применимого к широкому ряду классов графов. Эта декомпозиция связана с превращением множества всех графов Grв свободную полугруппу операторов Tr и с представлением произвольного графа G как результата действия этой полугруппы на множестве Gr, т. е. в виде G = T ? H, где T ? Tr называется операторной частью декомпозиции, а H – неразложимой частью. Накладывая ограничения на операторную часть, мы получаем различные специальные типы операторной декомпозиции, благодаря чему общий метод учитывает специфику рассматриваемых классов, что приводит к эффективному решению ряда классификационных и распознавательных задач (Тышкевич Р. И., Суздаль С. В., Скумс П. В.). В частности, на базе этого метода получена полная структурная характеризация униграфов – графов, определяемых с точностью до изоморфизма своей степенной последовательностью. Также получены характеризации, либо перечислительные формулы для классов матроидных, матрогенных, бокс-пороговых, доминантно-пороговых, тотально 1-разложимых, расщепляемых, U-расщепляемых графов (Р. И. Тышкевич, П. В. Скумс, С. В. Суздаль). На применении операторной декомпозиции графов основан и новый подход к доказательству гипотезы Келли-Улама о реконструируемости – одной из наиболее известных открытых задач теории графов. Используя данный подход, для произвольной пары наследственных классов графов P и Q, замкнутых относительно операций соединения и дизъюнктного объединения соответственно, доказана реконструируемость (P, Q)-разложимых не-(P, Q)-расщепляемых графов. Доказана реконструируемость p-несвязных графов (Скумс П. В.).
• Разработана теория представлений графов как графов пересечений ребер специальных гиперграфов ограниченного ранга. В рамках этой теории с помощью методов теории представлений (в частности, известная теорема Бержа, расширяющийся и локальные фрагменты) и глубокого проникновения в геометрию клик краусовых разбиений получены рекордные на сегодняшний день оценки порога ?ALG(G) полиномиальной распознаваемости и порога ?FIS(G) конечной характеризуемости для класса графов пересечений ребер линейных гиперграфов ранга не выше 3. В различных классах графов решены задачи характеризации и распознавания (или доказаны конечная характеризуемость или полиномиальная распознаваемость) для классов графов пересечений ребер гиперграфов ранга не выше r, линейных гиперграфов ранга не выше r,r-раскрашиваемых гиперграфов, а также хэллиевых гиперграфов ранга не выше r (Тышкевич Р. И., Зверович И. Э., Зверович В. Э., Метельский Ю. М., Суздаль С. В., Скумс П. В., Перез Чернов А. Х., Крылов Е. В.).
• Впервые исследованы классы (?, ?)-полярных графов, построена иерархия полиномиальной распознаваемости и NP-полноты задачи распознавания этих классов для различных значений ? и ?, для некоторых значений ? и ? получены конечные характеризации в терминах запрещенных порожденных подграфов (Тышкевич Р. И., Гагарин А. В., Метельский Ю. М.). Решена задача реализации гиперграфов графами с предписанными свойствами (Мельников О. И.). Разработан алгоритм построения транзитивного замыкания ациклического орграфа трудоемкостью О(q), где q– число дуг в замыкании (Мельников О. И.). Получены характеризации, условия существования и гамильнотовости для графов с ограниченной локальной структурой (Орлович Ю. Л.).

Одним из лучших достижений коллектива является учебник “Лекции по теории графов” (Москва: Наука, 1990 г.), (авторы Емеличев В. А., Мельников О. И., Сарванов В. И., Тышкевич Р. И.), переведенный на английский язык издательством «B. I. – Wissenschaftsverlag» в 1994 г., и сопровождаемый задачником «Exercises in Graph Theory» (Kluwer Acad. Publ., 1998 г.). Учебник удостоен Государственной премии Республики Беларусь в области науки и техники за 1998 год и принят в качестве основного в значительной части университетов и технических вузов СНГ.

Дискретная оптимизация (Емеличев В. А., Танаев В. С.)

Задачи дискретной оптимизации широко используются как математические модели формирования и поиска вариантов решений в экономике, технике, социальной сфере и других областях.

Одним из ведущих специалистов мира в области дискретной математики и оптимизации является проф. В. А. Емеличев. Он в 1952 г. окончил Ивановский государственный педагогический институт. В 1962 г. В. А. Емеличев защитил кандидатскую диссертацию, а в 1972 г. – докторскую по математической кибернетике. В 1973 г. ему присвоено ученое звание профессора.

После защиты кандидатской в 1963 году В. А. Емеличев переезжает на работу в Минск и начинает работать в НИИ экономики и экономико-математических методов планирования при Госплане БССР. С 1971 года он начинает работать в Белорусском государственном университете.

Его научная деятельность оказала огромное влияние на развитие всей этой отрасли науки. Он является автором многочисленных работ по теории многогранников, графов, методам решения дискретных задач оптимизации и создателем общепризнанной научной школы по дискретной оптимизации.

К числу наиболее важных фундаментальных результатов научной школы по устойчивости дискретных оптимизационных задач следует отнести:

• создание и обоснование метода построения последовательности планов для решения задач дискретной оптимизации, на основе которого разработаны эффективные алгоритмы решения широкого круга прикладных задач;
• исследование комбинаторных свойств множеств допустимых решений как общих, так и специальных оптимизационных задач, в частности, различных видов транспортных многогранников, используемых для построения эффективных методов решения задач линейного и дискретного программирования;
• развитие математического аппарата и методологии в области анализа сложности, разрешимости, устойчивости, скаляризации и регуляризации векторных задач дискретной оптимизации с различными принципами оптимальности, а также c их обобщением и параметризацией;
• применение конструктивного подхода к количественному исследованию устойчивости векторных задач дискретной оптимизации, получение формул, а в некоторых случаях достижимых оценок радиусов различных видов устойчивости.

Неоценим вклад Владимира Алексеевича в подготовку научных кадров высшей квалификации. Под его руководством подготовлены более 30 докторских и кандидатских диссертаций, среди защитившихся академики и члены-корреспонденты академий наук стран бывшего СССР, профессора из стран дальнего зарубежья.

Огромный вклад в развитие дискретной оптимизации и теории расписаний внесен академиком В. С. Танаевым и его учениками. Работы в этой области были начаты в первой половине 1960-х годов. Одна из первых работ В. С. Танаева посвящена обобщению известной задачи Беллмана-Джонсона построения оптимального по быстродействию расписания обслуживания n требований двумя последовательными приборами. Построена функция, определенная на множестве перестановок, и разработан алгоритм ее минимизации, имеющий ту же временную сложность, что и алгоритм Джонсона, и позволяющий решать, как задачу Беллмана-Джонсона, так и многие ее обобщения.

Ранние работы В. С. Танаева связаны с исследованием многостадийных обслуживающих систем с операторами переноса – устройствами, осуществляющими перемещение требований с одного прибора на другой. Критерием является максимизация производительности системы. Задача с фиксированным числом операторов переноса и идентичными требованиями сведена к поиску оптимума в классе периодических расписаний. Для задачи с неограниченным числом операторов переноса и различными требованиями предложена двухэтапная схема решения. На первом этапе строится сведение к задаче коммивояжера и находится оптимальная перестановка, определяющая расписание обслуживания требований приборами. На втором этапе отыскивается минимальное число операторов переноса и расписание их работы.

С начала 1970-х гг. В. С. Танаев уделяет значительное внимание задачам, в которых существенную роль играют директивные сроки завершения обслуживания требований. Рассматриваются два типа задач. В задачах первого типа необходимо построить расписание, допустимое относительно заданных директивных сроков. В задачах второго типа отыскивается расписание, минимизирующее функцию штрафа, зависящую от директивных сроков. Совместно с В. С. Гордоном предложен метод ветвей и границ для минимизации взвешенного числа запаздывающих требований, обслуживаемых одним прибором и поступающих в обслуживающую систему одновременно. В случае неодновременного поступления исследованы свойства оптимальных расписаний, выявлены полиномиально разрешимые специальные случаи задачи и предложены алгоритмы их решения.

Для одностадийной системы из идентичных приборов установлены необходимые и достаточные условия, при выполнении которых все требования могут быть обслужены в заданные директивные сроки. Важным с практической точки зрения и интенсивно исследуемым до сих пор является класс задач, в которых допускаются прерывания процесса обслуживания требований. Для одностадийной системы из идентичных приборов В. С. Танаев получил достаточные условия существования оптимального расписания без прерываний процесса обслуживания требований: целевая функция должна быть неубывающей и e-квазивыпуклой. Для задачи минимизации максимального штрафа при обслуживании неодновременно поступающих частично упорядоченных требований одним прибором предложены полиномиальные алгоритмы решения при допущении прерываний.

Одной из особенностей научного творчества Вячеслава Сергеевича является работа на стыке различных разделов дискретной оптимизации. Примерами являются его результаты о разбиении конечных множеств на подмножества и построению оптимальных перестановок, сохраняющих заданное группирование элементов множества.

Ряд задач дискретной оптимизации может быть сформулирован в терминах минимизации симметрических функций на подходящем конечном множестве векторов. Для таких задач В. С. Танаевым введено понятие минорантного множества векторов. Множество называется минорантным, если оно содержит единственный минимальный вектор в смысле отношения ? при покоординатном сравнении векторов. Показано, что алгоритм минимизации возрастающей симметрической функции на минорантном множестве обеспечивает минимизацию любой другой неубывающей симметрической функции на этом множестве.

В течение ряда лет В. С. Танаев совместно с Г. М. Левиным разрабатывали общую теорию параметрической декомпозиции задач оптимизации. В основу этой теории положена идея параметризации исходной задачи, приводящая к ее декомпозиции в некоторую совокупность иерархически взаимосвязанных более простых подзадач. В рамках этой теории разработана общая схема параметрической декомпозиции и получены достаточные условия ее применимости.

Созданная В. С. Танаевым научная школа в области теории расписаний и дискретной оптимизации получила признание мировой научной общественности. Монографии В. С. Танаева о теории расписаний вместе с его учениками (В. С. Гордоном, Я. М. Шафранским, Ю. Н. Сотсковым, В. А. Струсевичем, М. Я. Ковалевым) стали настольными книгами целого поколения специалистов.

Им подготовлено 18 кандидатов наук, 7 из них защитили докторские диссертации.

Интегральные операторы (Забрейко П. П.)

Построенная П. П. Забрейко в 60-ые годы систематическая теория операторов и операторных уравнений в идеальных пространствах функций составила основу докторской диссертации, защищённой в 1968 году (как уже мы подчеркивали ранее, на тот момент Петр Петрович Забрейко стал самым молодым доктором физико-математических наук в СССР).

С 1981 года П. П. Забрейко начал работать в Белорусском государственном университете: сначала на должности профессора кафедры функционального анализа до 1988 года, затем заведующего кафедрой математических методов теории управления.

Под руководством проф. П. П. Забрейко были выполнены исследования по теории линейных и нелинейных операторов. Ряд результатов исследований П. П. Забрейко, ставших уже классическими, коренным образом повлияли на становление и развитие целых областей математических исследований. Широко известны его результаты по теории линейных и нелинейных операторов; аналитическим методам решения операторных уравнений; геометрическим методам анализа; теории дифференциальных уравнений; анализу импульсно-дифференциальных уравнений и т.д.

Ю. Аппель и П. П. Забрейко дали детальный анализ оператора суперпозиции (другие названия: простейший нелинейный оператор, оператор Каратеодори, оператор Немыцкого) в различных пространствах функций (измеримых, непрерывных, гладких).

В связи с приложениями к теории уравнений в частных производных был получен и ряд результатов о таких операторах между пространствами Соболева (именно со свойствами этих операторов в пространствах Соболева связаны ограничения на рост нелинейностей в рассматриваемых уравнениях). Ю. Аппель и П. П. Забрейко дали точное описание тех классов идеальных пространств, для которых оказываются верными классические теоремы об операторе суперпозиции: теоремы о непрерывности и равномерной непрерывности, теорема об ограниченности и абсолютной ограниченности на ограниченных множествах, теоремы о дифференцируемости и непрерывной дифференцируемости, теоремы о дифференцируемости в отдельных точках и плотных множествах, теоремы об условиях аналитичности таких операторов.

П. П. Забрейко предложил уточнение теоремы Лагранжа о среднем, справедливое и в векторном случае; а также получил общий аналог интегральной теоремы о среднем. Теорема о неявной функции (Гильдебрандта–Грейвса) основана на принципе Банаха–Каччиопполи сжимающих отображений. П. П. Забрейко получил новую теорему о неявной функции на основе принципа Минти–Браудера. В конечномерном случае она обращается в теорему о неявной функции Пеано (классическая теорема Гильдебрандта–Грейвса – в теорему Дини). Изменив схему Э. Гурса доказательства теоремы о неявной функции Гильдебрандта–Грейвса, А. Виньоли и П. П. Забрейко предложили новый вариант теоремы о неявной функции в бинормированных пространствах.

Знаменитое обобщение Стоуна теоремы Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных на отрезке функций полиномами и тригонометрическими полиномами относится к вещественно- или комплекснозначным функциям и существенно использует порядок в поле R или операцию сопряжения в поле C. Поэтому для функций c векторными значениями применение классических методов доказательства этой теоремы невозможно. П. П. Забрейко и Ю. В. Лысенко предложили использовать в задаче об аппроксимации вектор-функций разложения единицы. Ими был получен ряд новых теорем об аппроксимации вектор-функций полиномами, гладкими и липшицевскими функциями и была прояснена связь между гладкой аппроксимацией непрерывных вектор-функций со значениями в банаховых пространствах и свойствами нормы.

В исследованиях по теории операторов в пространствах функций была построена теория линейных интегральных операторов в идеальных пространствах вектор-функций (П. П. Забрейко, Н. Х. Тхай), полностью аналогичная этой теории в пространствах скалярных функций. Для операторов Вольтера в идеальных пространствах функций многих переменных П. П. Забрейко и А. Ломаковичем были получены эффективные оценки спектрального радиуса; в частности, простые признаки нильпотентности таких операторов.

Под руководством проф. П. П. Забрейко защищены 9 докторских и 33 кандидатские диссертации.

Теория чисел (Спринджук В. Г)

Исследования в области теории чисел были начаты в Беларуси в начале 60-х годов В. Г. Спринджуком. В своей кандидатской диссертации, защищенной в 1963 г., он впервые систематизировал, а затем углубил и обобщил различные методы метрической теории диофантовых приближений, центральной гипотезой которой была проблема Малера, связанная с классификацией действительных и комплексных чисел.

Основную трудность в ее решении доставляли неприводимые полиномы, имеющие достаточно малую производную в корне. В. Г. Спринджук разбил полиномы на два класса в зависимости от взаимного расположения окрестностей корней у пар полиномов из одного класса. Затем проблема Малера была решена для каждого класса принципиально различными методами. Стоит отметить интересный момент. Дело в том, что, возможно, один из классов пуст, и В. Г. Спринджук говорил, что не знает, так ли это, а если так, то какой класс пуст.

Изобретенный В. Г. Спринджуком новый метод, теперь называемый методом существенных и несущественных областей, позволил ему не только решить проблему Малера, но и доказать гипотезы Вирзинга для почти всех чисел Каша и Фолькмана, а также доказать аналогии проблемы Малера в поле р-адических чисел и в поле формальных степенных рядов. Перечисленные результаты составили докторскую диссертацию, которую В. Г. Спринджук защитил в 1965 г.

В метрической теории чисел В. Г. Спринджук неоднократно применял метод тригонометрических сумм и теорию сохраняющих меру преобразований. Это позволило значительно расширить класс так называемых экстремальных многообразий и практически завершить метрическую теорию диофантовых приближений независимых величин. Исследования Владимира Геннадиевича в метрической теории чисел отражены в двух монографиях «Проблема Малера в метрической теории чисел» (1967 г.), «Метрическая теория диофантовых приближений» (1977 г.). Обе они изданы также и за рубежом.

С середины шестидесятых годов В. Г. Спринджук начал заниматься вопросами теории трансцендентных чисел и теории диофантовых уравнений. В области трансцендентных чисел он исследовал арифметическую природу гипергеометрических функций Зигеля с алгебраическими параметрами.

Результаты В. Г. Спринджука в области диофантовых уравнений основаны на открытой им связи между значениями линейных форм от логарифмов в различных метриках: если линейная форма от р-адических логарифмов «не мала» в p-адической метрике, то она не может быть малой по абсолютной величине и не мало ее значение в любой другой метрике. Количественный анализ этого метода позволил Владимиру Геннадиевичу получить ряд эффективных результатов о представлении чисел бинарными формами, скорости возрастания наибольшего простого делителя бинарной формы, рациональных приближениях к алгебраическим числам. Отдельно отметим открытую им связь между величинами решений диофантовых уравнений и числом классов идеалов, а также параметрические конструкции полей алгебраических чисел с большим числом классов.

В конце семидесятых годов ХХ столетия В. Г. Спринджук начал разрабатывать теорию арифметических специализаций в полиномах и полях алгебраических функций. Он построил метод исследования мультипликативной структуры специализированных многочленов по мультипликативной структуре чисел. Этот метод дал возможность описать все абелевы точки на алгебраических кривых. Развитие данного метода позволило указать эффективные варианты теоремы Гильберта о неприводимости и построить в явном виде универсальные гильбертовы множества. Результаты в области диофантовых уравнений и арифметических специализаций вошли в монографию В. Г. Спринджука «Классические диофантовы уравнения от двух неизвестных» (1982 г.), переизданную в 1993 г. на английский язык.

В. Г. Спринджук подготовил семь кандидатов и одного доктора наук.

Теория устойчивости и теория автоматического управления (Барбашин Е. А.)

В 60-е гг. ХХ в. Е. А. Барбашин публикует работы, посвященные вопросам приближенного осуществления движения по заданной траектории, изучению систем со случайными параметрами, рассмотрению различных задач автоматического регулирования и теории оптимальных систем. Им разработаны оригинальные методы стабилизации систем автоматического регулирования, создана новая концепция основных понятий теории устойчивости, позволившая успешно исследовать широкий круг задач автоматического управления.

В 1966 г. Е. А. Барбашин был избран академиком Академии наук Белорусской ССР и переехал на работу в г. Минск. После переезда в Минск в исследованиях Е. А. Барбашина особенно большое место заняли проблемы теории автоматического управления. Им опубликована серия работ по программному регулированию, в которых всесторонне освещена связь задачи об осуществлении программных движений с общей теорией устойчивости движения, с теорией оптимальных процессов и с теорией приближения функций.

Далее им были развиты новые оригинальные и эффективные методы стабилизации систем автоматического регулирования, охватившие, в частности, весьма важные для приложений и трудно поддающиеся математическому изучению динамические системы с нерегулярными, разрывными характеристиками. Е. А. Барбашиным была развита новая концепция основных понятий теории устойчивости движения, трактующая это свойство в связи с реакцией системы на внешнее возмущение того или иного класса. Эта концепция позволила, в частности, привлечь к изучению проблемы устойчивости аппарат обобщенных функций. Ряд важных результатов Е. А. Барбашина, полученных в этот период, вошли в его монографию «Введение в теорию устойчивости» (1967 г.).

Е. А. Барбашин развил методы стабилизации систем автоматического регулирования. Показал, что вопросы качественного изучения динамических систем в целом связаны с задачами устойчивости движения. Выполнил серию работ по программному регулированию, что позволило установить связь задачи об осуществлении программных движений с общей теорией устойчивости движения, теорией оптимальных процессов и теорией приближенных функций.

Е. А. Барбашин был ученым с мировым именем в области дифференциальных уравнений и топологии. В 1972 г. он был удостоен Государственной премии СССР за цикл работ по проблеме устойчивости систем автоматического регулирования.

Е. А. Барбашин за 20 лет воспитал большое число научных работников, в том числе ряд докторов наук и около 30 кандидатов наук.

Теория аппроксимации функций (Турецкий А. Х., Русак В. Н.)

Инициатором исследований по теории аппроксимации функций в Беларуси является А. Х. Турецкий.

С 1944 года творческая деятельность А. Х. Турецкого связана с Белорусским государственным университетом. В 1958 г. А. Х. Турецкий защитил докторскую диссертацию и после заведовал кафедрой высшей математики и математической физики, а с 1968 по 1973 гг. он возглавлял кафедру теории функций и функционального анализа.

А. Х. Турецким создана известная в СССР и мире научная школа по теории приближения функций. Научные интересы этой школы связаны с проблемами суммирования тригонометрических рядов Фурье, экстремальными задачами теории интерполирования и приближенного интегрирования. Широкую известность и признание у специалистов получили результаты по классам насыщения и методов суммирования тригонометрических рядов.

Одна из наиболее известных работ А. Х. Турецкого «О классе функций, для которых данный метод суммирования дает приближение порядка наилучшего» была опубликована в трех частях в журнале «Известия вузов. Математика» в 1965, 1966 и 1969 годах. Она стала классической работой о теории приближения для многих поколений математиков.

После смерти А. Х. Турецкого в 1975 году кафедру высшей математики и математической физики возглавил его ученик В. Н. Русак, который руководил кафедрой с 1976 по 2002 г. В. Н. Русак возглавил также и белорусскую школу по теории приближения функций. Рациональная аппроксимация функций и ее приложения стали основным направлением научных исследований сотрудников и аспирантов кафедры.

Профессором В. Н. Русаком получены результаты, касающиеся зависимости структурных свойств функций и скорости убывания последовательности наилучших рациональных аппроксимаций. В терминах мажорирующих функций, зависящих от полюсов, доказаны экстремальные оценки для производных рациональных функций в различных метриках. Разработаны способы построения положительных рациональных операторов и исследования их уклонений. Решена проблема построения оператора, осуществляющего аппроксимацию порядка наилучшего рационального приближения с предписанными полюсами. Созданы прямые методы в рациональной аппроксимации со свободными полюсами. Найдены точные порядки для наилучших рациональных приближений на свёртках ядер Вейля и функций ограниченной вариации. Исследованы строки и параболические последовательности рациональных таблиц Чебышева для аналитических функций с гладкими тейлоровскими коэффициентами.

В теории полиномиальной аппроксимации важную роль играют неравенства братьев Марковых, неравенства С. Н. Бернштейна и Сегё, а также их обобщения. Важную роль в теории полиномиальной аппроксимации играют также операторы Фейера, Валле – Пуссена и Джексона. В. Н. Русаком получены неравенства типа Бернштейна и типа Сегё для производных рациональных функций. Им также построены рациональные операторы типа Фейера, типа Джексона и типа Валле – Пуссена и даны их приложения для исследования скорости рациональной равномерной аппроксимации различных классов непрерывных функций (выпуклых, имеющих ограниченную вариацию, дробную производную ограниченной вариации и др.). Отмеченные неравенства и рациональные операторы широко признаны среди специалистов по теории приближения функций. Другими направлениями исследований В. Н. Русака являются аппроксимации Паде и приложения методов рациональной аппроксимации функций.

Его научные выводы имеют широкую известность и признание специалистов по теории аппроксимации, а также вошли в основное содержание теории аппроксимации через русскоязычные и англоязычные монографии.

Три ученика В. Н. Русака защитили докторские диссертации. Так, А. А. Пекарский в 1991 г. защитил докторскую диссертацию на тему «Прямые и обратные теоремы рациональной аппроксимации» в МГУ им. М. В. Ломоносова. Е. А. Ровба в 1999 г. защитил докторскую диссертацию на тему «Интерполяция и ряды Фурье в рациональной аппроксимации» в БГУ. А. П. Старовойтов 2003 г. защитил докторскую диссертацию на тему «Рациональная аппроксимация и классы функций» в БГУ.

Численное решение задач математической физики (Абрашин В. Н.)

Исследования в научной школе В. Н. Абрашина велись по широкому спектру направлений.

• Теоретические исследования устойчивости и сходимости конечно-разностных методов для нелинейных нестационарных параболических и гиперболических уравнений с различными краевыми условиями, на основе сформулированного Абрашиным принципа неограниченной нелинейности и предложенного им метода, что по праву заняло место в ряду классических результатов в вычислительной математике. (Абрашин В. Н., Вакульчик П. А., Лис В. И., Цурко В. А., Громыко Г. Ф., Иванова Л. И., Жадаева Н. Г.)
• Разработка методов с распараллелизацией вычислений для многомерных нестационарных задач математической физики. Построены и исследованы экономичные локально-одномерные схемы с распараллелизацией вычислений для многомерных квазилинейных параболических и гиперболических уравнений на основе метода суммарной аппроксимации. Особое внимание уделялось изучению вопросов, связанных с доказательством разрешимости и сходимости локально-одномерных схем для нелинейных нестационарных задач, содержащих нелинейности неограниченного роста, получению оценок погрешности решения разностных задач и изучению итерационных методов. (Абрашин В. Н., Асмолик В. А., Голик С. И., Шкель В. А., Федосик Е. А., Парсеной А.)
• Построение разностных методов, гарантирующих высокую точность на крупных шагах сетки. Предложен новый класс эффективных разностных алгоритмов численного решения многомерных уравнений. Для квазилинейных уравнений предложены и исследованы симметричные разностные схемы и с нелинейной симметризацией, обладающие улучшенными свойствами согласованности разностной и дифференциальной задач и позволяющие получить достаточно точные результаты на крупных пространственно-временных сетках при наличии негладких решений, а так же при наличии негладких решений. Характерные особенности таких схем – способность удовлетворять определенные соотношения, которые трактуются как дискретные законы сохранения. Аналогичные результаты получены для задач газодинами. Для систем уравнений Навье Стокса, уравнений Бюргерса исследованы инвариантно – групповые решения для квазилинейных уравнений теплопроводности. (Абрашин В. Н., Муха В. А., Синило А. В., Шербаф А. И., Шкель В. А.)
• Численные методы решения задач газодинамики. На основе нового подхода, предложенного Абрашиным В. Н., к конструированию консервативных разностных схем, которые на грубых сетках сохраняют основные особенности решения дифференциальных задач, построены существенно новые разностные схемы для уравнений газовой динамики, а также для нелинейного уравнения переноса. (Абрашин В. Н., Голик С. И., Каморников А. Ф., Егоров А. А., Матус П. П., Шавель А. И.)
• Численное моделирование задач нелинейной оптики. Разработаны, исследованы и реализованы на ЭВМ алгоритмы численного решения задач нестационарной светоиндуцированной дифракции (СИД) оптического излучения в средах с кубической нелинейностью при попутном распространении световых волн. Полученные укороченные уравнения СИД, представляющие собой систему дифференциальных уравнений типа уравнений Шредингера для медленно меняющихся комплекснозначных амплитуд. С помощью вычислительного эксперимента установлено, что при отсутствии усиления слабого излучения в стационарном режиме в процессе установления возможна эффективная перекачка энергии из мощных входных импульсов в дифракционные. Эффективность протекания такого процесса СИД существенно зависит от угла, частотной расстройки между импульсами, соотношениями и формы их амплитуд. (Абрашин В. Н., Дриц В. В., Волков В. М., Муха В. А., Веремеенко Т. В.)
• Численные методы решения нестационарных задач с подвижными границами. Для задач типа Стефана и Веригина предложена методика нахождения численного решения на неортогональных сетках, позволяющих определять решения и для задач с вырождением фаз. Для численного решения систем уравнений Максвелла-Блока предложены разностные схемы, позволяющие исследовать распространение импульса, создаваемого сканируемым пучком. Получены условия образования солитона в зависимости от характеристик светового пучка. Предложены и исследованы численные алгоритмы для задач перемагничивания ферромагнитного цилиндра внешним переменным однородным магнитным полем при параллельном подмагничивании с учетом магнитного гистерезиса. Проведены расчеты дозвуковой плазменной струи. Численное моделирование неклассических задач подземной газодинамики. (Абрашин В. Н., Громыко Г. Ф., Васильев В. И., Петров Е. Е., Цурко В. А., Якубеня А. И.)
• Развитие нового подхода к построению экономичных алгоритмов, основанных на многокомпонентной (векторной) аппроксимации в методах расщепления. Такие алгоритмы оказались особенно эффективными для задач большой размерности. (Абрашин В. Н., Дюба И. М., Волков В. М., Егоров А. А., Жадаева Н. Г., Муха В. В., Лапко С., Кулешова М. Е., Якубеня В.)

Методы, разработанные в научной школе Абрашина В. Н., и в настоящее время являются основным аппаратом исследования и построения численных алгоритмов для ряда важных прикладных задач.

Важно отметить, что научная школа Абрашина В. Н. работала в тесном контакте с Институтом прикладной математики АН СССР, который существенно повлиял на тематику работ, проводимых в лаборатории математической физики. Кроме ряда совместных исследований, в содружестве с этим институтом было проведено ряд школ молодых ученых по математическим моделям и численным методам математической физики. Эти школы, возглавляемые академиками А. Н. Тихоновым, А. А. Самарским, оказали плодотворное влияние на развитие прикладной математики в Беларуси.

Благодаря интенсивной работе среди учеников В.Н. Абрашина в Беларуси и за ее пределами успешно работают более 40 кандидатов и 6 докторов наук.

Уравнения математической физики (Иванов Е. А., Юрчук Н. И.)

Первые фундаментальные результаты научных исследований Е. А. Иванова были подытожены в монографии «Дифракция электромагнитных волн на двух телах», вышедшая в свет в 1968 году, и представлены в докторской диссертации «Дифракция электромагнитных волн на некоторых сложных препятствиях», блестяще защищенной в 1969 году. Это был плод огромной и пытливой работы, внесший серьезный вклад в математическую теорию дифракции.

Исследования Е. А. Иванова и его учеников приводят к формированию белорусской школы дифракции, которая получает заслуженное признание в Советском Союзе и за рубежом. Он является постоянным участником Всесоюзных симпозиумов по дифракции волн, где его доклады вызывают неизменный интерес, участвует в работе международного математического конгресса.

Прикладные работы, в которых строго обосновывался используемый математический аппарат, были скорее исключениями, чем правилом. В этом отношении исследования Е. А. Иванова могут быть отнесены к тому редко встречающемуся случаю, когда автор предлагает не только эффективный метод решения широкого круга прикладных задач, но и проводит строгое математическое обоснование полученных результатов, устанавливает оценки скорости сходимости метода, подкрепляя их численными расчетами и практическими рекомендациями. Отличительной особенностью работ данного периода является широкое использование при проведении численных расчетов только что появляющихся ЭВМ.

Примечательно, что Е. А. Иванов активно расширяет область применимости своего излюбленного метода теорем сложений. Им и его учениками в это время решен ряд задач дифракции на диэлектрических телах в свободном пространстве и полупространстве, рассмотрены важные для приложений задачи излучения из сложных электродинамических устройств, образованных экранами с круговыми отверстиями и дисками, и сферы с управляемой нагрузкой. Теоремы сложения с успехом были применены для решения сложных краевых задач сопряжения со смешанными граничными условиями. Исследованы излучающие системы, образованные криволинейными решетками из круговых цилиндров. Помимо электродинамических векторных задач теоремы сложения применялись к акустическим задачам дифракции звуковых волн на движущихся сферах.

Особое место занимает цикл работ, выполненный Е. А. Ивановым совместно с его учеником А. В. Мошинским по решению внутренних задач электродинамики, в которых изучено распространение волн в прямоугольном волноводе с цилиндрическими включениями. Применение теорем сложения в комбинации с многократными отражениями от стенок волновода приводит к проблеме суммирования медленно сходящих рядов, которая была успешно решена с помощью преобразования Куммера.

В 1982 году кафедру уравнений математической физики возглавляет Н. И. Юрчук. В 70-е годы Н. И. Юрчук разработал метод энергетических неравенств для исследования граничных задач для дифференциально-операторных уравнений высших порядков с переменными операторными коэффициентами, имеющими в ряде случаев переменные области определения. Наряду с традиционными вопросами корректности в смысле Ж. Адамара – И. Г. Петровского (существование, единственность и непрерывная зависимость решения от правых частей уравнения и граничных условий) разработанным Н. И. Юрчуком методом исследовалась еще и непрерывная зависимость решения от операторных коэффициентов уравнения. Благодаря последнему, удалось построить универсальный метод приближенного решения задач, основанный на приближении операторными коэффициентами исходных уравнений уравнениями, для которых уже есть методы решения. В. И. Корзюком изучались граничные задачи для гиперболических уравнений второго и третьего порядков в нецилиндрических областях, задачи типа Дирихле для уравнений третьего порядка, задачи сопряжения гиперболических и параболических уравнений. Доказательства основывались на энергетических неравенствах и операторах сглаживания с переменным шагом. Результаты исследований были обобщены Николаем Иосифовичем в докторской диссертации «Метод энергетических неравенств в исследовании дифференциально-операторных уравнений», которую он защитил в 1982 году в Математическом институте им. В. А. Стеклова в Москве.

В 1982 году в связи с избранием Н. И. Юрчука деканом механико-математического факультета, возглавляемая им к тому времени кафедра уравнений математической физики была переведена на механико-математический факультет. В дальнейших исследованиях профессор Н. И. Юрчук и его ученики Ф. Е. Ломовцев, В. И. Чесалин, Н. В. Цывис, А. В. Картынник распространили идею и технику метода энергетических неравенств на более сложные задачи (нелокальные задачи, многоточечные задачи, уравнения переменного порядка, с разрывными операторными коэффициентами). Следует особо отметить результаты Ф. Е. Ломовцева, которому впервые удалось исследовать гиперболические дифференциально-операторные уравнения с переменными областями определения операторных коэффициентов, остававшиеся долгое время недоступными.

Ряд работ Н. И. Юрчука и его учеников В. И. Яшкина, Аль-Момани Райда, Чарие Коку посвящены установлению на начальные данные условий, являющихся необходимыми и достаточными, при которых существуют классические или так называемые ослабленные классические решения гиперболических уравнений.

Значительным шагом в развитии исследований являются работы Н. И. Юрчука и его учеников Э. М. Аксеня, Абабна Мусы, Чарие Коку, в которых впервые применен метод априорных оценок к некорректным (в смысле Ж. Адамара – И. Г. Петровского) задачам, а также для доказательства нового свойства – непрерывной зависимости решений параболических уравнений при изменении нелокальных краевых условий в локальные.

Псевдодифференциальные уравнения, допускающие потерю гладкости на любое число, не превосходящее порядка оператора, и интегральные уравнения третьего рода рассматривались А. А Кулешовым.

Математические модели механики сплошных сред (Чепинога М. М., Прусов И. А., Мартыненко М. Д.)

В 1962 году на работу в БГУ из Ростовского государственного университета приезжает Мина Минович Чепинога. Он возглавил кафедру теоретической механики, которой руководил до 1970 года. Основные направления научных исследований, начало которым было заложено в эти годы на кафедре, касались таких разделов механики, как построение аналитических решений краевых задач механики сплошной среды, в частности таких разделов гидромеханики, как динамика вязкой несжимаемой жидкости, теория волн, теория фильтрации, гидродинамическая теория смазки.

Так, М. М. Чепиногой внесен значительный вклад в разработку методов решения задач о движении реологически сложных сред с неклассическими граничными условиями, получены новые результаты в теории волн цунами, решен ряд практически важных задач гидродинамической теории смазки. В частности, им разработана гидродинамическая модель центробежного литья, в рамках которой, например, найдена форма свободной поверхности вязкой жидкости, помещенной в быстро вращающийся горизонтальный цилиндр. Рассмотрена в общей постановке задача о нестационарном движении шара в вязкой жидкости под действием заданных сил. Изучено течение жидкости в каналах с криволинейным пористым дном. Серьезные исследования в области гидромеханики, основа которых была заложена в эти годы, продолжаются на кафедре и в настоящее время учениками и последователями М. М. Чепиноги.

В 1970 году в БГУ для создания и развития отделения механики на механико-математическом факультете пригласили на работу И. А. Прусова. С 1970 по 1986 год он возглавлял кафедру теоретической механики Белгосуниверситета.

И. А. Прусовым, его учениками и коллегами были получены   существенные результаты в области математической теории упругости.

Профессор И. А. Прусов – один из виднейших ученых в области теории упругости анизотропных сред. Ему принадлежат основополагающие результаты в использовании современных математических методов при решении основных граничных задач изгиба анизотропных пластин в классической и уточненной постановках, а также в формулировке и решении задач упругой и термоупругой устойчивости пластин с учетом деформации поперечного сдвига. И. А. Прусов построил новый вариант уточненной теории изгиба пластин с более широким диапазоном применимости, чем в известной теории Рейснера. Им получены фундаментальные результаты в разработке и применении одного из наиболее эффективных методов теории функций комплексного переменного – метода линейного сопряжения Н. И. Мусхелишвили – к решению краевых задач стационарной теплопроводности и термоупругости анизотропного тела, в частности, для решения основных граничных задач теории изгиба изотропных и анизотропных пластин. Созданные И. А. Прусовым термоупругие комплексные потенциалы, позволяющие получать наиболее простые и эффективные решения основных граничных задач анизотропных сред, нашли дальнейшее развитие в работах его учеников и последователей (среди его учеников более 20 докторов и кандидатов наук). В настоящее время они широко используются в научных исследованиях и практических приложениях во многих научных школах государств СНГ.

В 1971 г. по рекомендации профессора Прусова И. А. на кафедру теоретической и прикладной механики ректором Белгосуниверситета академиком АН БССР А. Н. Севченко из Львовского госуниверситета был приглашен М. Д. Мартыненко.

Круг научных интересов профессора М. Д. Мартыненко весьма широк и связан главным образом с математическими проблемами механики деформируемого твердого тела. Им впервые дано полное решение задачи о нахождении геометрических форм тонкостенных оболочечных конструкций, в которых заданные внешняя нагрузка и температурное поле не вызывают изгибающих напряжений и кривизны срединной поверхности. Разработан метод многозначных потенциалов для решения основных граничных задач теории упругости в пространственных областях со щелями и на его основе получены явные формулы для определения контактного давления под жестким штампом, близким в плане к кругу, и для вычисления коэффициента интенсивности напряжений в окрестности плоской щели, близкой в плане к кругу. Были рассмотрены граничные задачи теории упругости в областях с плоскими щелями, смешанные задачи для полупространства и выведены явные формулы для решения этих уравнений, выраженные через функцию Грина двухлистного риманового пространства, линией ветвления которого является линия раздела граничных условий.

Для построения этих функций Грина в случае симметрично звездной плоской линии ветвления Мартыненко М. Д. был предложен метод малого параметра. Полученные в этом направлении результаты были использованы для решения контактных задач теории упругости для полупространства. Впервые общий подход к решению задач теории упругости с помощью двухзначных эластопотенциалов для пространственных областей со щелями был развит в этом же цикле работ. В частном случае для пространства с плоской щелью была получена система интегральных уравнений, допускающая явное решение через функцию Грина двухлистного риманового пространства. На основе соответствующих формул получены явные приближенные выражения для коэффициентов интенсивности напряжений в окрестности края щели, ограниченной плоской симметрично звездной кривой. Эти формулы имеют общий вид и до сих пор не имеют аналогов.

Проф. Мартыненко М. Д. совместно с Романчиком В. С.  предложен и обоснован метод дельтаобразных аппроксимаций для решения пространственных задач теории упругости для полупространства. Впоследствии этот метод совместно с Романчиком В. С., Князевой Л. П., Свирским Е. А., Ильинковой Н. И. был использован для исследования влияния анизотропии, неоднородности материала полупространства, смятия балки (плиты) на распределение контактных напряжений. Была решена задача о внедрении конического штампа-индентора в идеально пластическое полупространство и на его основе разработан метод определения основных механических свойств металлов по их твердости.

Совместно с кандидатом физ.-мат. наук, доцентом Докуковой Н. А. предложен новый метод для исследования и проектирования вибротранспортирующих механизмов, осуществляющих перемещение тел с подбрасыванием по вибрирующей поверхности. Получены оптимальные значения параметров, обеспечивающих подъем материальных тел над поверхностью вибрирующего лотка с наибольшей дальностью полета и максимальной скоростью перемещения за один период движения кривошипно-шатунного механизма. Выведено условие нецентрального удара тела о балку, совершающую возвратно-поступательное движение, и формулы для динамического прогиба балки в месте контакта с падающим телом. Представлено решение задачи С. П. Тимошенко с использованием обобщенной функции Дирака в предположении о неупругом характере удара. Выведено уравнение изгибных колебаний пластинки, на которую кратковременно воздействует падающее тело. Разработан единый научный подход для проектирования и обоснования параметров вибротранспортирующих машин, выбора таких критериев оптимизации геометрических параметров и физических характеристик, создаваемых объектов, которые обеспечат снижение нагруженности механизма и экономию энергоресурсов.

В ряде работ Мартыненко М. Д. получил дальнейшее развитие метод потенциального представления искомого решения задач гидродинамики микрополярных вязких жидких упругих сред и теории упругости. Эти решения использовались для приведения краевых задач микрополярной гидродинамики и задач теории упругости в напряжениях.

Существенные результаты были получены М. Д. Мартыненко совместно с М. А. Журавковым в области методов интегральных уравнений решения задач механики деформируемых твердых тел (МДТТ), особенно развитии метода квазифункций Грина решения задач МДТТ.

Теория оптимального управления (Габасов Р. Ф., Кириллова Ф. М.)

С приездом в 1967 г. в Минск Ф. М. Кирилловой и Р. Ф. Габасова начинает отсчет научная школа по оптимизации и математическим методам оптимального управления, которая существует до настоящего времени.

Научные направления с самых первых лет создания школы разделились на качественную и конструктивную теорию оптимизации и оптимального управления, что нашло отражение и в одноименных монографиях Р. Габасова, Ф. М. Кирилловой и соавторов.

Основу работ по качественной теории оптимального управления заложили докторские диссертации основателей школы «О некоторых применениях функционального анализа в теории оптимальных процессов» Ф. М. Кирилловой и «Математические вопросы оптимизации систем управления» Р. Ф. Габасова, в которых получены фундаментальные результаты по проблеме управляемости систем с запаздываниями, теории существования оптимальных управлений. В диссертациях открыт принцип квазимаксимума для дискретных систем, построена теория особых управлений, обоснована универсальная форма представления необходимых условий оптимальности с помощью вариационных производных. Исследования по этим направлениям продолжились их учениками, среди которых Гороховик В. В., Марченко В. М., Минюк С. А., Забелло Л. Е., Альсевич В. В., Калинин А. И., Метельский и др.

Большое внимание в работах школы уделялось исследованию базовых свойств управляемости и наблюдаемости систем управления. Для систем с последействием, которые по своей природе существенно сложнее обыкновенных систем, были введены так называемые определяющие уравнения (впервые это понятие было введено в работах Чураковой С. В.), которые эффективно, в параметрической форме, решают проблемы управляемости и наблюдаемости не только для обыкновенных систем, в частности, со сложной структурой, но и для систем с последействием.

Кроме проблемы относительной управляемости, которая полностью решается с помощью определяющих уравнений для систем с последействием, была решена и более трудная проблема полной управляемости. Для систем с последействием исследовались проблемы наблюдаемости, управляемости, стабилизируемости, точечной полноты, невырожденности (Марченко В. М., Минюк С. А., Метельский А. В., Карпук В. В. и др.).

Следующей проблемой теории оптимальных процессов, исследованной учениками школы, является проблема существования оптимальных управлений, которая в работах Р. Габасова, Ф. М. Кирилловой и Мордуховича Б. Ш. ставится и решается по-новому. В частности, впервые доказаны так называемые индивидуальные теоремы существования оптимальных управлений, в которых условия существования решений дифференциальных уравнений связываются с условиями оптимальности, чего не было в работах других авторов, в том числе в классических теоремах существования А. Ф. Филиппова.

С проблемой существования оптимальных управлений тесно связана проблема необходимых условий оптимальности. В работах школы был найден универсальный способ выражения необходимых условий в форме принципа максимума Л. С. Понтрягина и обоснован этот результат для весьма широкого класса дифференциальных систем, включающих, в частности, системы с последействием. Универсальность метода заключается в том, что был найден способ формирования сопряженной системы, которая при формулировке и доказательстве принципа максимума является одним из основных элементов, и вид которой заметно усложняется с усложнением исходной (прямой) системы управления (Барбашина Е. Е., Минченко Л. И., Альсевич В. В. и др.). В это же время появилась возможность исследовать негладкие (Кругер А. Я., Мордухович Б. Ш.), гибридные (Стрельцов С. В., Ахундов А. А. (Азербайджан)), многокритериальные (Гороховик В. В., Дымков М. П.) задачи оптимального управления, со специальными ограничениями на управление и фазовые переменные (Белых Ю. Э., Крученок Ю. Л., Гайшун П. В., Карасева Г. Л.), с распределенными параметрами (Борзенков А. В., Кунчев О. И. (Болгария)).

В дальнейшем были тщательно исследованы ситуации, когда принцип максимума не дает информации об оптимальном управлении, т.е. возникают так называемые особые режимы – особые оптимальные управления. В работах Р. Габасова, Ф. М. Кирилловой, Срочко В. А. (Россия), Альсевича В. В., Барбашиной Е. Е., Тарасенко Н. В. (Россия), Гороховик С. Я. в этом направлении, во-первых, разработан универсальный метод пакета вариаций особых управлений в открытой области, во-вторых, предложен оригинальный метод матричных импульсов для особых управлений в замкнутой области, в-третьих, найдены новые условия оптимального сопряжения экстремалей.

Следующей проблемой при исследовании задач оптимального управления является построение оптимальных управлений в дискретных системах. В работах Габасова Р., Кирилловой Ф.М., Гайшуна И. В. и их учеников Ащепков Л. Т. (Россия), Гусакова М. Л., Минченко Л. И., Мехталиев А. И (Азербайджан) для дискретных систем был доказан принцип максимума, вызвавший большой резонанс в научном мире. Этот результат впервые позволил принципу максимума Понтрягина получить адекватное выражение для дискретных систем. Именно принцип максимума стал единственным результатом, который позволил устранить указанные выше недостатки результатов, полученных другими авторами.

Работа школы над конструктивной теорией началась в 70-е годы с исследования статических задач оптимизации, среди которых первыми были задачи линейного программирования. Анализ наиболее известного, популярного и эффективного в те годы симплекс-метода показал, что его трудно использовать для решения задач оптимального управления, кроме того не удается использовать опыт специалистов, приближенные решения или строить субоптимальные планы. Адаптивный метод, созданный в Минске под руководством Р. Габасова и Ф. М. Кирилловой совместно с О. И. Костюковой, лишен отмеченных недостатков, а также использует теорию двойственности в основных операциях адаптивного метода.

После создания адаптивного метода линейного программирования была проведена работа по его обобщению на более сложные классы экстремальных задач – квадратичного, кусочно-линейного, дробно-линейного программирования (Покатаев А. В., Ракецкий В. М., Чернушевич А. С., Костина Е. А., Прищепова С. В., Дежурко Л. Ф., Шилкина Е. И.). На основе адаптивного метода разработан и программно реализован алгоритм решения билинейной минимаксной задачи с линейными ограничениями, который был применен к задаче построения априорной разрешающей гарантирующей операции для линейных дискретных систем наблюдения в условиях неопределенности (Астровский А. И.).

При моделировании многих прикладных задач естественным образом возникают сетевые модели, которые адекватно отражают структуру задач. Решение подобных задач общими методами, даже учитывающими разреженность матриц условий, менее эффективно, чем сетевые методы, которые представляют специальные реализации общих методов на сетевые задачи. Эти вопросы были исследованы в работах Маркова С. В., Командиной Л. В., Пилипчук Л. А.

Развитие адаптивного метода на общие задачи нелинейного программирования осуществлялось с помощью нового важного понятия – сетевых моделей нелинейных функций. Использований сетевых моделей позволяет наглядно представить сложность конкретной задачи и строить разнообразные эффективные численные методы решения задач нелинейного программирования с учетом специфики структуры конкретных функций, участвующих в формулировке задачи (Покатаев А. В., Ганаго А., Чемисова Т. В., Медведев В. Г.).

К концу 80-х годов программа исследований по конструктивной теории экстремальных задач, начатая в начале 70-х, была в основном завершена в той части, которая касалась оптимальных программных управлений.

Школа по математическим методам оптимального управления и оптимизации сыграла большую роль в становлении этого направления исследований не только в Беларуси. Под руководством Ф. М. Кирилловой, Р. Ф. Габасова и их учеников было подготовлено большое число кандидатов физико-математических наук для союзных республик, стран Африки и Азии.

В 1988 г. была заложена традиция проведения регулярной Международной научной конференции «Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация», обычно приуроченной к юбилейным датам со дня рождения академика Е. А. Барбашина. Организаторами выступают БГУ и ИМ НАНБ. Этот регулярный форум проводится до сих пор и собирает учеников школы, а также ведущих специалистов со всего мира.

Вычислительная математика и приближенные методы численного анализа (Крылов В. И., Монастырный П. И., Бобков В. В.)

Работы в области вычислительной математики в БССР значительно расширились, после того как в 1956 г. В. И. Крылов был избран академиком АН БССР и переехал работать в Минск. Он был одним из основоположников проведения широких исследований по вычислительной математике в Советском Союзе и перенес все это в БССР. Им основана крупная научная школа по вычислительной математике.

В. И. Крылов провел глубокие исследования в области численных методов решения интегральных уравнений. Целый ряд его работ посвящен механическим квадратурам и теории приближения функций. В этой области получены необходимые и достаточные условия сходимости квадратурного и кубатурного процессов, выяснены условия сходимости алгебраического интерполирования для ряда классов функций, исследована асимптотика остатков приближенных методов интерполяционного типа в классах периодических аналитических функций, доказана невозможность построения квадратурной формулы Чебышева для весовых функций Лягерра и Эрмита, указаны способы увеличения точности механических квадратур, разработаны методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа.

Им построены методы конформного отображения односвязных и многосвязных областей, которые в ряде практически важных случаев позволяют эффективно находить приближенную функцию, отображающую конформно одну заданную область комплексной плоскости на другую. Построение таких методов было особенно актуально в то время в связи с необходимостью решения ряда прикладных задач аэродинамики, гидродинамики и других плоских задач механики, один из важных математических методов решения которых основан на использовании аппарата функций комплексного переменного.

Важные результаты получены В. И. Крыловым совместно с его учениками по исследованию методов решений обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений математической физики. Для ряда краевых задач в случае обыкновенных дифференциальных уравнений был разработан усовершенствованный вариант метода прогонки, а для классических задач, связанных с уравнениями в частных производных, – методы понижения размерности с соответствующими априорными оценками погрешностей.

Последние годы жизни В. И. Крылов посвятил изучению проблемы улучшения сходимости рядов и последовательностей. Результатом этих исследований явилось построение теории интерполяционных методов для такого класса задач.

В 1964 году кандидатскую диссертацию защищает ученик В. И. Крылова П. И. Монастырный, который в 1973 г. возглавляет на механико-математическом факультете кафедру численных методов и программирования. Он руководил ею до 2002 года.

В работах, выполненных П. И. Монастырным в 1970-80 гг., были заложены основы теории методов инвариантного погружения и редукции к задачам Коши для численного решения граничных задач в случае дифференциальных уравнений в полных и частных производных.

Научные результаты П. И. Монастырного определили новое перспективное направление в теории численных методов решения граничных задач для дифференциальных и сеточных уравнений. Практическое использование разработанных им методов решения задач математической физики, механики, физики плазмы, электродинамики, газовой динамики показало их высокую эффективность.

Одно из направлений разработки методов решения систем разностных уравнений связано с построением неявных итерационных процессов, основанных на использовании экономичных точных алгоритмов. Так, наряду с методами точной факторизации активно развиваются методы приближенной факторизации, необходимость разработки которых обуславливается потребностью решать системы уравнений большой размерности. На основе неявных итерационных процессов и экономичных точных алгоритмов модифицированной матричной прогонки и полной редукции разработаны итерационные методы неявной матричной прогонки и неявной полной редукции.

24 апреля 1964 года другой ученик В. И. Крылова, В. В. Бобков защитил кандидатскую диссертацию на тему «Метод интегральных соотношений для уравнений и систем гиперболического типа» Основное направление научной деятельности В. В. Бобкова – исследование теории численных методов решения дифференциальных уравнений, в том числе жестких.

Среди полученных результатов профессора В. В. Бобкова особо следует отметить новые подходы и требования к построению методов численного решения жестких систем дифференциальных уравнений, в частности требования локальной взаимосогласованности операторов перехода на шаге дискретизации и новые понятия теории численных методов, например, понятия локальной производной приближенного решения и его невязки на исходной дифференциальной системе (принцип обратной связи). Непосредственно связанные с данными исследованиями научные результаты В. В. Бобкова по разработке новых эффективных способов построения многоэтапных вычислительных алгоритмов и модульного типа методов позволяют существенно расширить возможности численного моделирования сложных многокомпонентных процессов.