Родился Николай Антонович в семье крестьян в деревне Пасиничи Слонимского района Гродненской области, белорус.
Окончил физмат БГУ (отделение математики) в 1957 году, с 1957 по 1960 гг. – аспирант кафедры дифференциальных уравнений БГУ.
С сентября 1960 г. по март 2007 г. работал на кафедре, прошел путь ассистента, старшего преподавателя, доцента, профессора. В 1961 году защитил кандидатскую, а в 1971 году – докторскую диссертацию, в сентябре 1974 г. утвержден в звании профессора.
В течение 21 года (19.12.1972–30.06.1993) работал заведующим кафедрой дифференциальных уравнений БГУ.
С 1993 г. до конца жизни продолжал работать профессором на кафедре. Под его руководством защитились более 30 кандидатов и докторов наук.
Николай Антонович являлся участником 4-го Всесоюзного математического съезда (г. Ленинград), Международного конгресса математиков (г. Москва) и других Всесоюзных и Республиканских конференций и симпозиумов, на которых выступал с оригинальными докладами. Руководил научно-исследовательской темой «Исследование решений обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности особых точек и в целом».
Награждался Почетной Грамотой Верховного Совета БССР (29.10.1971 г.), Почетной Грамотой Минвуза СССР (1983 г.), Почетными Грамотами Минвуза БССР (1983 г., 1984 г.), медалью «Ветеран Труда» (23.07.1987 г.).
Указом Президента Республики Беларусь Лукашевичу Николаю Антоновичу 17.05.1999 г. присвоено Почетное звание «Заслуженный деятель науки Республики Беларусь» (пр.№279).