Родился 19 февраля 1906 года в станице Баталпашинская (г. Черкесск, Ставропольский край) в семье сапожника. Он рано лишился отца, и работать ему пришлось с самого детства. После окончания Черкесского педагогического техникума в 1925 году поступил во Владикавказе в Горский педагогический институт.
В 1928 году его по рекомендации профессора Л. И. Креера был принят на учёбу в Казанский университет, который он окончил в 1930 году.
В 1934–1937 гг. Ф. Д. Гахов преподавал математику в вузах Свердловска, а затем поступил в аспирантуру Казанского университета, где его научным руководителем был Б. М. Гагаев. В это время сформировался круг его научных интересов, связанных с решением краевых задач теории аналитических функций и соответствующих им сингулярных интегральных уравнений.
В 1937 Ф. Д. Гахов защитил кандидатскую диссертацию «Линейные краевые задачи теории аналитических функций». Эта работа была удостоена второй премии на Всесоюзном конкурсе работ молодых ученых. С 1937 по 1939 год он работал доцентом в Казанском университете, а с 1939 по 1947 год – заведующим кафедрой математического анализа Северо-Осетинского педагогического института.
В 1943 году Ф.Д. Гахов защитил докторскую диссертацию «Краевые задачи теории аналитических функций и сингулярные интегральные уравнения». Тогда же, в 1943 году, ему было присвоено звание профессора.
В 1947–1953 гг. Ф. Д. Гахов работал профессором, затем заведующим кафедрой дифференциальных уравнений Казанского университета. В 1953–1961 гг. – заведующим кафедрой дифференциальных уравнений Ростовского университета.
С 1961 года до последних дней жизни Ф. Д. Гахов работал в Белорусском государственном университете. Он заведовал кафедрой математического анализа, затем кафедрой теории функций и функционального анализа, а позднее работал профессором кафедры теории функций. В 1962–1963 гг. он был деканом математического факультета. В 1966 году Ф. Д. Гахов был избран действительным членом Академии наук Белорусской ССР.
Основные научные результаты Ф. Д. Гахова относятся к краевым задачам, сингулярным интегральным уравнениям и теории функций комплексного переменного. Он одним из первых в СССР исследовал задачу Римана-Гильберта для функций многих переменных. В своих исследованиях он широко использовал аппарат функций от матриц, а также топологические методы. Занимался теорией одномерных сингулярных уравнений, дал подробный анализ методов решения отдельных классов таких уравнений и указал границы их применимости.
Также Ф. Д. Гахов исследовал особые интегральные уравнения с ядром Коши и ядром Гильберта, обратные краевые задачи, уравнения типа свёртки, интегральные уравнения первого рода со слабыми особенностями. Полученные им совместно с учениками результаты отражены в монографиях «Краевые задачи» (выдержавшей три издания и переведенной на английский и испанский языки) и «Уравнения типа свертки», опубликованной им совместно с его учеником профессором Ю. И. Черским.
Награжден Орденом Трудового Красного Знамени, медалью «За оборону Кавказа», медалью «За доблестный труд в Великой Отечественной войне 1941–1945 гг.», медалью «За доблестный труд в ознаменование 100-летия со дня рождения В. И. Ленина».
Приезд известных в СССР ученых в нашу республику позволил создать научные школы, которые впоследствии принесли белоруской математике мировую известность. Обеспечение высококвалифицированными кадрами, особенно в области математики и техники, всех отраслей экономики БССР и развитие белорусской математической науки создали необходимые условия для постепенного становления индустриального общества в нашей республике.