Родился в 1905 году в поселке Петриков Гомельской области в семье учителя. После окончания в 1929 г. физико-математического отделения педагогического факультета БГУ работал учителем средней школы. В 1935 г. успешно закончил аспирантуру при АН СССР под руководством академика С. Н. Бернштейна и решением квалификационной комиссии Наркомпроса БССР был утвержден в ученом звании доцента. Несколько лет заведовал кафедрами математики в Витебском и Ульяновском педагогических институтах.
С 1944 года А. Х. Турецкий работает в БГУ. Здесь в полной мере раскрылся его незаурядный педагогический и научный талант. В 1958 году он защитил докторскую диссертацию, в 1961 году возглавил кафедру высшей математики и математической физики, с 1968 по 1973 гг. заведовал кафедрой теории функций и функционального анализа.
Абрам Хаимович был инициатором проведения в Беларуси научных исследований по теории аппроксимации. Им получены основополагающие результаты по классам насыщения методов суммирования рядов Фурье, найдены наилучшие квадратурные формулы на классах дифференцируемых функций, установлены неусиляемые в том или ином смысле порядковые оценки для равномерных уклонений полиномиальных интерполяционных операторов на ряде функциональных классов. Решил проблему Гаусса о квадратурных формулах высшей тригонометрической точности.
Он является основателем научной школы по теории приближения функций в Беларуси. Автор научных работ по конструктивной теории функций (теории приближения, теории интерполяции, квадратурным формулам).
Наследие ученого – свыше 60 научных статей. Им изданы 2 монографии по теории интерполирования (1968, 1977 гг.), которые и сегодня служат источником новых идей и проблемных постановок аппроксимационных задач.