Родился 17 января 1918 года. В селе Уинское Пермской области (Россия). В 1935–1940 гг. учился на физико-математическом факультете Уральского государственного университета им. A. M. Горького (г. Свердловск) и успешно его закончил. В том же году поступил в аспирантуру при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова, которую закончил в 1943 г., чуть позже защитил кандидатскую диссертацию на тему «Некоторые вопросы теории обобщенных динамических систем». В этой работе Е. А. Барбашин впервые развил теорию динамических систем без предположения единственности и тем самым заложил основы многочисленных исследований в этом направлении как в Советском Союзе, так и за его пределами.
С 1943 г. Евгений Алексеевич преподавал в Уральском политехническом институте им. С. М. Кирова, последовательно занимая должности доцента (до 1951 г.), заведующего кафедрой (до 1958 г.), профессора кафедры (до 1960 г.). В 1948г. поступил и успешно окончил докторантуру при Математическом институте имени В. А. Стеклова Академии наук СССР. В 1951 г. защитил докторскую диссертацию «Метод сечений в теории динамических систем».
После окончания докторантуры Е. А. Барбашин возвратился в Свердловск и возглавил кафедру высшей математики Уральского политехнического института, на базе которой им была создана широко известная в СССР и за рубежом Свердловская школа дифференциальных уравнений. В 1952–1958 гг. Барбашин публикует серию работ, посвященных вопросам устойчивости движения в целом, устойчивости по отношению к запаздываниям, где рассмотрены общие принципы доказательства теорем об устойчивости по первому приближению, разработаны методы эффективного построения функций Ляпунова. В 1959 – 1961 гг. Е. А. Барбашин исследует динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством, условия существования предельных циклов, рассматривает колебания обобщенных, связанных и двойных маятников. Результаты этих исследований нашли отражение в его монографии «Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством» (1969 г.).
С 1961 по 1966 гг. Е. А. Барбашин заведовал отделом математического анализа Математического института им. В. А. Стеклова Академии наук СССР (Свердловское отделение) и сыграл ведущую роль в создании и укреплении этого крупного математического центра на Урале.
В 1966 году Е. А. Барбашин был избран академиком АН Белорусской ССР и переехал на работу в г. Минск. В Институте математики Академии наук БССР ученый создал и заведовал лабораторией прикладной математики и механики, а также организовал в Белорусском государственном университете новую кафедру прикладной математики. Евгений Алексеевич стоял у истоков организации и становлении журнала «Дифференциальные уравнения», а в последний год жизни являлся первым заместителем главного редактора этого журнала.
В 1960-е гг. в исследованиях Е. А. Барбашина особенно заметное место заняли проблемы теории автоматического управления. Им опубликована серия работ по программному регулированию, в которых всесторонне освещена связь задачи об осуществлении программных движений с общей теорией устойчивости движения, с теорией оптимальных процессов и с теорией приближения функций. Позднее им были развиты новые оригинальные и эффективные методы стабилизации систем автоматического регулирования, охватившие, в частности, весьма важные для приложений и трудно поддающиеся математическому изучению динамические системы с нерегулярными, разрывными характеристиками. Евгением Алексеевичем была развита новая концепция основных понятий теории устойчивости движения, трактующая это свойство в связи с реакцией системы на внешнее возмущение того или иного класса. К слову, эта концепция позволила привлечь к изучению проблемы устойчивости аппарат обобщенных функций. Ряд интересных результатов академика Барбашина, полученных в этот период, вошли в его монографию «Введение в теорию устойчивости» (1967 г.). Перед самым уходом из жизни ученый подготовил и сдал в печать монографию «Функции Ляпунова» (1970 г.).
Профессор Евгений Алексеевич Барбашин был ученым с мировым именем в области дифференциальных уравнений и топологии. В 1972 году он был удостоен Государственной премии СССР за цикл работ по проблеме устойчивости систем автоматического регулирования.
За научную и педагогическую деятельность Е. А. Барбашин награжден орденом Трудового Красного Знамени (1967 г.) и медалями. Являлся автором более 80 научных трудов, в том числе и 4 монографий.