Анатолий Иосифович Яблонский родился 20 апреля 1928 г. в многодетной крестьянской семье в Воложинском районе. Трудовая деятельность Анатолия Иосифовича началась в 1944 г. с преподавания в сельской школе. После окончания с отличием в 1951 г. Белорусского государственного университета он работал в системе народного образования на Витебщине.
В 1956 г. А. И. Яблонский поступил в аспирантуру при Институте физики и математики АН БССР к академику АН БССР Н. П. Еругину. После окончания аспирантуры до 1977 г. работал в Институте математики АН БССР в должностях научного сотрудника, ученого секретаря института, а также заведующего лабораторией дифференциальных уравнений.
С 1977 по 1986 гг. он заведовал кафедрой высшей математики Белорусского государственного института народного хозяйства (ныне Белорусский государственный экономический университет), а в последние годы жизни работал профессором этой кафедры. В 1961 г. одним из первых белорусских математиков Анатолий Иосифович защитил под руководством академика АН БССР Н. П. Еругина кандидатскую диссертацию «Аналитическая характеристика решений второго уравнения Пенлеве», а в 1971 г. – докторскую диссертацию «Аналитические свойства решений систем дифференциальных уравнений».
А. И. Яблонский был одним из самых ярких и талантливых представителей получившей широкое признание не только в нашей стране, но и за рубежом школы Н. П. Еругина по дифференциальным уравнениям. Он внес весомый вклад в аналитическую теорию дифференциальных уравнений (и создал в ней собственное направление) своими работами по проблеме общей классификации систем нелинейных дифференциальных уравнений по характеру их подвижных особых точек.
Большой интерес представляют и результаты Анатолия Иосифовича по качественной теории дифференциальных уравнений. С 1963 по 1977 гг. А. И. Яблонский возглавлял лабораторию дифференциальных уравнений Института математики Академии наук БССР. Лаборатория стала центром притяжения молодых людей, интересующихся наукой. Одна за другой ими стали защищаться диссертации, выполненные под руководством Анатолия Иосифовича. В 1974 г. ему, старшему научному сотруднику Института математики, было присвоено звание профессора.
В 1977 году профессор А. И. Яблонский возглавил кафедру высшей математики в Белорусском государственном экономическом университете. Он был превосходным лектором и педагогом. Высочайший профессионализм, глубокое и тонкое понимание излагаемого материала позволяли Анатолию Иосифовичу блестяще читать лекции как для студентов и аспирантов, так и для участников Межвузовского объединенного семинара по дифференциальным уравнениям. Многие сотрудники не только БГЭУ, но и других вузов считали для себя за честь выступить с докладом на семинаре, которым руководил все годы Анатолий Иосифович.
А. И. Яблонский – автор более 95 работ, в которых он получил важные и глубокие результаты в аналитической и качественной теории дифференциальных уравнений. Им проведено детальное исследование свойств решений уравнений Пенлеве. Получили дальнейшее развитие методы классификации систем нелинейных дифференциальных уравнений по характеру их подвижных особых точек. Изучена структура решений в зависимости от параметров у некоторых специальных систем, имеющих различные приложения (модели генетики, циклические системы и др.). Изучены свойства решений дифференциальных уравнений с экспоненциальной правой частью, дано представление решений дифференциальных систем в виде рядов экспонент от независимого переменного. Им исследовано качественное поведение интегральных кривых некоторых классов автономных двумерных систем. Показано, что во многих случаях по поведению некоторых интегральных кривых можно судить о поведении интегральных кривых во всей плоскости.
А. И. Яблонский был заместителем главного редактора, членом редколлегии всесоюзного журнала «Дифференциальные уравнения».
Профессор А. И. Яблонский был не только глубоким исследователем, но и блестящим педагогом: значительная часть белорусских математиков воспитывалась на его лекциях, а сам он подготовил более 20 кандидатов и 2 докторов наук.