Анатолий Александрович Килбас родился 20 июля 1948 года в городе Минск. Его отца, Александра Антоновича Килбаса, вскоре направили на работу в г. Борисов, где Анатолий начал учебу в средней школе.
В 1966 году Анатолий Александрович окончил среднюю школу в городе Борисове. В том же году поступил на математический факультет Белорусского государственного университета. Вся его дальнейшая академическая и научная карьера связана с нашим университетом. Анатолий Александрович закончил математический факультет БГУ в 1971 году и был зачислен в научно-исследовательскую лабораторию математического анализа при кафедре математического анализа. В 1973 году А. А. Килбас поступил в аспирантуру по специальности «математический анализ» (научный руководитель – академик Ф. Д. Гахов). В июне 1976 года защитил кандидатскую диссертацию на тему «Операторы типа потенциала со степенно-логарифмическими ядрами и интегральные уравнения разрешимые в замкнутой форме».
В трудовой книжке Анатолия Александровича в графе «трудовая деятельность» значатся только позиции в Белорусском государственном университете (старший лаборант, а затем младший научный сотрудник научно-исследовательской лаборатории, аспирант, ассистент, старший преподаватель, доцент, профессор, заведующий кафедрой теории функций). Три раза он покидал университет на длительный срок, когда уезжал на стажировку в Раджерский университет, США (октябрь 1984 – июль 1985), в Даляньский технологический университет, Китай (сентябрь 1989 – февраль 1990), в Фукуокский университет, Япония (октябрь 1994 – январь 1995).
Научная карьера Анатолия Александровича началась на математическом факультете (1966–1971 гг.). Когда пришло время выбирать направление специализации, А. А. Килбас остановился на математическом анализе. Руководителем научной группы был академик Федор Дмитриевич Гахов.
В 1996 году А. А. Килбас инициировал проведение международной научной конференции «Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление», которая успешно прошла в феврале 1996 года. Конференция была посвящена 90-летию со дня рождения Ф. Д. Гахова. В ней участвовали ученые из Беларуси, Германии, Италии, Литвы, Польши, России, Чехии, Швеции и Украины. Эта конференция стала прародителем серии конференций «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» (АМАДЕ, название которой было предложено профессором Прудниковым Анатолием Платоновичем) (1999, 2001, 2003, 2006, 2009, 2011, 2012, 2015, 2018). Конференции 2001, 2006 г. также были связаны с именем Ф. Д. Гахова. Руководителем всех конференций АМАДЕ вплоть до 2009 г. был Анатолий Александрович Килбас.
В первый период своей научной карьеры А. А. Килбас исследовал свойства одномерных интегральных операторов типа потенциала с полярными, полярно-логарифмическими и логарифмическими ядрами.
А. А. Килбас доказал необходимые и достаточные условия нетеровости и вычислил индекс одномерных интегральных уравнений первого рода типа потенциала со степеннно-логарифмическими ядрами в пространствах гельдеровских функций с общим степенным весом на конечном отрезке действительной оси. Также получил необходимые и достаточные условия разрешимости и явные формулы решений интегральных уравнений первого рода с переменным верхним пределом со степенно-логарифмическими ядрами и постоянными коэффициентами в пространстве интегрируемых функций. Эти результаты легли в основу его кандидатской диссертации.
Переломным пунктом всей научной карьеры А. А. Килбаса стал переход к исследованию дифференциальных и интегральных уравнений дробного порядка. Метод исследования, который Анатолий Александрович привнес в дробное исчисление, основан на асимптотическом анализе, а также композиционных и аналитических свойствах операторов. Именно эти исследования составили базу его докторской диссертации «Операторы дробного интегрирования. Асимптотические и композиционные свойства и приложения». Это была первая защита докторской диссертации по математике в независимом Белорусском ВАКе.
А. А. Килбас работал со многими зарубежными коллегами. Возможно, благодаря его широким взглядам и живому интересу к новым направлениям, он обратил внимание на приложения своих результатов. И вместе со своим испанским коллегой Хуаном Трухильо опубликовал две монографии в 2003 и 2006 гг.
Большой вклад внес Анатолий Александрович Килбас в подготовку научной смены. Под руководством А. А. Килбаса успешно защищены 16 кандидатских диссертаций. Среди его учеников были И. Н. Катковская, А. А. Королева, С. И. Василец, Е. В. Громак и др.
Ю. В. Васильев и Н. В. Жуковская защитили кандидатские диссертации уже после безвременного ухода Анатолия Александровича.
В период с 2002 по 2010 г. А. А. Килбас возглавлял кафедру теории функции. Он продолжал стиль и традиции Федора Дмитриевича Гахова. На кафедре теории функций активно велась подготовка научных кадров высшей квалификации. За период с 2002 по 2010 г. были защищены 2 диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук и 15 кандидатских диссертаций.
А. А. Килбас являлся членом Белорусского, Американского и Индийского математических обществ, ученым секретарем Совета по защите диссертаций при БГУ. Состоял в редколлегиях четырех международных журналов: «Integral Transforms and Special Functions», «Fractional Calculus and Applied Analysis», «Advaces in Applied Mathematical Analysis», «Mathematics in Engineering. Sciense and Aerospace».
А. А. Килбас – автор 7 монографий и более 420 научных и научно-методических работ. Его монография «Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения» (совместно с С. Г. Самко и О. И. Маричевым) является настольной книгой для многих экспертов в области дробного анализа и его приложений по всему миру.