Родился 14 мая 1907 г. в станице Великокняжеской Ростовской губернии.
В 1926 г. Н. П. Еругин поступил в Новочеркасский индустриально-земледельческий техникум и по окончании двух курсов техникума поступил на физико-математический факультет Ленинградского государственного университета. По окончании университета он поступает в аспирантуру. После окончания аспирантуры работает на кафедре дифференциальных уравнений.
Свою научную деятельность Н. П. Еругин начал с решения одной из узловых проблем теории дифференциальных уравнений. В 1935 г. Николай Павлович решил эту проблему, а в 1937 г. дал полное решение проблемы Пуанкаре в общем случае. Это достижение вывело Н. П. Еругина в ряд ведущих специалистов по аналитической теории дифференциальных уравнений.
В 1939 г. в Ленинграде было создано отделение Математического института им. В. А. Стеклова Академии наук (ЛОМИ), куда Н. П. Еругин был зачислен по рекомендации Н. М. Гюнтера и С. Н. Бернштейна. В 1941 г. Н. П. Еругин завершил большую работу по проблеме построения функционально-инвариантных решений волнового уравнения, названной позже проблемой Смирнова-Соболева.
Великая Отечественная война прервала интенсивную научную и педагогическую деятельность Николая Павловича. С первых же дней войны Н. П. Еругин на Ленинградском фронте. 22 февраля 1942 г. Н. П. Еругин был тяжело ранен, более полугода провел в различных госпиталях и только в сентябре 1942 г., еще в тяжелом состоянии, прибыл в Елабугу, куда была эвакуирована научная часть Ленинградского университета. Там он работал над проблемой ограниченности решений линейного уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами и получил новые классы признаков ограниченности и неограниченности решений.
К лету 1943 года Николай Павлович завершил построение теории приводимых систем. Эта работа стала основой его докторской диссертации, защищенной в 1943 г. в Казани. В том же году Николай Павлович стал профессором и заведующим кафедрой дифференциальных уравнений Ленинградского университета, который в то время находился в Саратове.
В июне 1944 г. Николай Павлович вместе с университетом вернулся в Ленинград. Там он продолжает заведовать кафедрой дифференциальных уравнений до 1958 г. В 1949-1950 гг. Н. П. Еругин – декан математико-механического факультета Ленинградского университета. В 1953 г. Николай Павлович стал заместителем директора Математического института им. В. А. Стеклова по Ленинградскому отделению (директором ЛОМИ) и был им до 1957 года.
В 1951 году за выдающиеся работы по теории устойчивости и теории автоматического регулирования Н. П. Еругину была присуждена Государственная премия СССР.
В 1956 г. Н. П. Еругин был избран академиком Академии наук БССР и переехал в Минск. С этого времени вся его жизнь и научная деятельность были связаны с Беларусью. Здесь прошел новый интенсивный и плодотворный период его научной и организационной деятельности. Он был организатором и первым директором Института математики АН БССР, с 1977 г. по 1982 г. — член президиума Академии наук БССР. В последние годы Николай Павлович работал советником при президиуме АН БССР, а затем при дирекции Института математики. На протяжении ряда лет он возглавлял кафедру дифференциальных уравнений Белорусского государственного университета.
В 1965 г. Николай Павлович создал и начал издавать в Минске всесоюзный журнал «Дифференциальные уравнения», главным редактором которого он был до середины 1989 года.
Н. П. Еругин является создателем Белорусской школы по теории дифференциальных уравнений и их приложениям. Н. П. Еругину принадлежит идея комплексного исследования конкретных систем дифференциальных уравнений с различных точек зрения: аналитической и качественной; устойчивости, краевых задач и т.д. Многие из идей Николая Павловича воплощены в его работах, посвященных решению проблемы Римана, а также связанных с аналитической теорией дифференциальных уравнений. Н. П. Еругин широко развил и получил глубокие результаты в исследовании подвижных особенностей на вещественной оси, показал существенное различие таких исследований на комплексной плоскости и на вещественной оси.
Изданием в 1982 г. монографии «Проблемы Римана» Н. П. Еругин завершил цикл работ, посвященных этой проблеме. В ней изложена история вопроса, приведены различные формулировки проблемы, подходы многих математиков к ее решению, дано решение проблемы в формулировке Лаппо-Данилевского для двумерной линейной системы фуксова типа с четырьмя особыми точками ее матрицы коэффициентов.
В БССР под непосредственным руководством и прямым влиянием Николая Павловича было защищено несколько десятков кандидатских и 9 докторских диссертаций, два представителя белорусской школы стали членами Академии наук Беларуси. Ныне белорусская школа дифференциальных уравнений — одна из сильнейших в мире.
Всю свою многогранную научную и научно-организационную работу Николай Павлович блестяще сочетал с общественной деятельностью. Он был членом Национального комитета советских математиков, членом экспертной комиссии ВАК. Н. П. Еругин — автор более 80 научных трудов, в том числе 4 монографий.
Заслуженный деятель науки БССР. За трудовые успехи и заслуги в Великой Отечественной войне Николай Павлович Еругин был награжден орденами Октябрьской Революции, Трудового Красного Знамени, Отечественной войны 1-й и 2-й степеней, «Знак Почета», рядом медалей.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 13 марта 1969 года за большие заслуги в развитии советской науки Николай Еругин был удостоен высокого звания Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и медали «Серп и Молот».