Родился 8 декабря 1920 года в городе Великие Луки Псковской области. Закончив в 1938 г. с отличием среднюю школу в г. Сычевка, он в том же году поступает на математико-механический факультет Ленинградского государственного университета. В июне 1940 г. Ю. С. Богданов становится Сталинским стипендиатом и начинает активно заниматься научной работой. Однако судьба распорядилась так, что окончить университет ему довелось лишь в 1956 г. В самом начале Великой Отечественной войны Ю. С. Богданов добровольно вступил в студенческий партизанский отряд, в составе которого принимал участие в операциях в тылу врага в Волосовском районе Ленинградской области. Из-за тяжелого ранения Юрий Станиславович вынужден был остаться на оккупированной территории, а в марте 1942 года его вывезли в Германию. Хорошо владея немецким языком, Богданов активно сотрудничал с антифашистами, а окончание войны встретил в рядах взвода разведки 9-й американской армии.
Осенью 1945 года Юрий Станиславович вернулся на Родину и был восстановлен в Ленинградский университет студентом 4 курса. Уже первая его научная работа «О нормальных системах Ляпунова», выполненная на 4 курсе и опубликованная в Докладах АН СССР в 1947 году привлекла внимание специалистов. Но в том же 1947 г. обучение было прервано: Юрий Станиславович был арестован. Однако и во время пребывания в Мордовских лагерях на станции Потьма Юрий Станиславович не переставал заниматься математикой. До сих пор сохранилась написанная Ю. С. Богдановым в этих тяжелейших условиях рукопись «Правильные системы».
С 1949 года его статьи начинают пересылаться на рецензирование ведущим специалистам по дифференциальным уравнениям и, в частности, академику В. И. Смирнову и профессору В. В. Немыцкому, которые высоко оценили эти работы. В апреле 1955 года Военная Коллегия Верховного Суда СССР отменила приговор и отправила дело на новое расследование с первоначальной стадии, но в декабре этого же года следствие было прекращено, и Ю. С. Богданов был освобожден. Был реабилитирован же Юрий Станиславович лишь посмертно 6 февраля 1989 года.
В 1956 году Ю. С. Богданов с отличием окончил Ленинградский университет. С 1956 г. по 1958 г. он работал в Ленинградском отделении Математического института АН СССР, а, начиная с 1958 года, когда Юрий Станиславович вслед за своим учителем-академиком АН БССР Н. П. Еругиным переезжает в Минск, вся его трудовая деятельность неразрывно связана с Белорусским государственным университетом. Ю. С. Богданов работал на кафедре дифференциальных уравнений, заведовал кафедрами общей математики (1964–1968), высшей математики и математической физики (1968–1973), высшей математики (1971–1981). Читал лекции по фундаментальным математическим дисциплинам на всех естественных факультетах БГУ.
Простота и естественность его лекций, удивительно сочетающееся с глубоким их научным содержанием, всегда привлекали множество студентов. Юрий Станиславович был уникальным лектором. Образный язык и эмоциональность изложения никого не оставляли равнодушным на его лекциях. Студенты университета тех лет и сейчас помнят его педагогический эксперимент, когда известный математик читал лекции по всем основным математическим дисциплинам на младших курсах математического факультета. Преподаванию математических дисциплин, их методическому обеспечению Ю. С. Богданов придавал большое значение. В разное время он руководил работой различных методических семинаров для преподавателей, являлся руководителем Республиканского методического объединения математиков, был членом президиума и членом секции университетов и пединститутов научно-методического Совета по математике при Учебно-методическом управлении Минвуза СССР, заместителем председателя секции математики научно-технического Совета Минвуза БССР.
Взгляды Ю. С. Богданова на математику и ее преподавание нашли свое отражение в серии написанных им отличных учебных пособий по математическому анализу и дифференциальным уравнениям. Ю. С. Богданова часто приглашали для чтения лекций в университеты и пединституты Молдавии, Прибалтики, Узбекистана и, конечно же, Беларуси. В результате у него появилось множество учеников, с которыми он щедро делился идеями и задачами. Юрий Станиславович, несомненно, является одним из основателей всемирно признанной белорусской школы по дифференциальным уравнениям.
Более 40 его учеников стали кандидатами наук, пятеро из них доктора наук, среди которых академик НАН Беларуси Н. А. Изобов. Нет в республике сейчас университета, где бы ни работали ученики Юрия Станиславовича. Для научной деятельности Ю. С. Богданова характерно глубокое проникновение в сущность рассматриваемых проблем и разнообразие научных интересов.
Им получен ряд основополагающих результатов в современной асимптотической теории обыкновенных дифференциальных уравнений, одним из создателей которой он по праву считается. Ю. С. Богдановым построена абстрактная теория норм Ляпунова; получен критерий Басова –Гробмана – Богданова правильности линейных систем; решена задача о существовании аппроксимирующей последовательности для правильных систем; доказана асимптотическая эквивалентность линейных нестационарных систем и систем с кусочно-постоянным коэффициентом, принимающим лишь два значения; введены аналоги преобразований Ляпунова и характеристических показателей для нелинейных систем vd-преобразования и vd-числа). Им также указаны признаки отсутствия замкнутых траекторий у двумерных систем в заданной области плоскости; изучено множество периодов семейства циклов, охватывающих друг друга; обоснован метод нахождения периодических решений систем дифференциальных уравнений; построено множество всех решений дифференциального уравнения, содержащего лишь производную искомой функции.
Всего Ю. С. Богдановым опубликовано около ста научных статей и семь учебных пособий. Мы, его ученики и коллеги, благодарны судьбе, подарившей нам счастье общения с доброжелательным Человеком, талантливым Ученым, выдающимся Педагогом, пронесшим через всю свою нелегкую жизнь идеалы служения истине, добру и справедливости.