Николай Иосифович Юрчук родился 27 мая 1942 года в д. Дубенец Столинского района Брестской области в крестьянской семье. В 1966 году окончил математический факультет БГУ и поступил в аспирантуру по кафедре дифференциальных уравнений. Работает в БГУ с 1 января 1969 года сначала ассистентом кафедры дифференциальных уравнений, затем старшим преподавателем и доцентом кафедры уравнений математической физики. В 1970 году защитил кандидатскую диссертацию, а в 1982 году – докторскую. В 1974 году ему присвоено ученое звание доцента, а в 1983 году – ученое звание профессора. В феврале 1982 года избран на должность заведующего кафедрой уравнений математической физики. С мая 1983 года по ноябрь 1985 года работал деканом механико-математического факультета, с ноября 1985 года по октябрь 1988 года – секретарем парткома университета, а с 1996 года снова декан механико-математического факультета.
Основные научные интересы Н.И.Юрчука сформировались в области уравнений с частными производными, уравнений математической физики и дифференциально-операторных уравнений под влиянием доцента Н.И.Бриша – ученика ректора Московского государственного университета академика И.Г.Петровского. Под его непосредственным руководством был выполнен ряд работ по исследованию методом энергетических неравенств корректной разрешимости граничных задач для уравнений с частными производными с двумерным временем. По итогам полученных результатов Н.И.Юрчук в 1970 году защитил в Институте математики АН БССР кандидатскую диссертацию «Задача Гурса и смешанная задача с условиями Гурса для некоторых линейных уравнений с двумя временными переменными».
Последующая научная деятельность Н.И.Юрчука направлена на развитие метода энергетических неравенств для исследования граничных задач для более широкого круга дифференциально-операторных уравнений, в том числе и высших порядков. При этом наряду с установлением корректности граничных задач в смысле Адамара-Петровского этот метод позволяет впервые доказать непрерывную зависимость решений от операторных коэффициентов уравнений и на этом свойстве построить приближенный метод решения. В результате Н.И.Юрчук в 1982 году защитил в Математическом институте имени В.А.Стеклова АН СССР докторскую диссертацию «Метод энергетических неравенств в исследовании дифференциально-операторных уравнений».
В дальнейших работах Н.И.Юрчука исследования развивались в двух направлениях. Во-первых, результаты докторской диссертации были распространены на случаи, когда области определения операторных коэффициентов является переменными (зависят от времени t) или могут быть не плотными. Переменность областей определения вывела впервые на изучение уравнений с частными производными переменного порядка, а неплотность областей определения – на важные в приложении задачи с интегральными условиями. Во-вторых, априорные энергетические неравенства удалось применить в некорректных в смысле Адамара-Петровского задачах для установления сходимости методов регуляризации. Это позволило значительно обобщить имеющиеся ранее результаты.
В 1996 году Н.И. Юрчуку совместно с В.И. Корзюком и Я.В. Радыно была присуждена Государственная премия Республики Беларусь в области науки и техники за цикл работ «Операторные методы в дифференциальных уравнениях». В этом же году Н.И.Юрчуку было присвоено почетное звание Заслуженный деятель науки Республики Беларусь.
В последние годы серия работ Н.И.Юрчука была посвящена разработке операционного метода для решения смешанных задач для параболических уравнений и парных интегральных уравнений, применению метода парных уравнений для решения нестационарных задач математической физики и применению полученных результатов для построения физико-математических моделей задач теории неразрушающего контроля.
Н.И.Юрчук опубликовал свыше 120 научных и научно-методических работ. С его научным творчеством теснейшим образом связана научно-педагогическая деятельность, которую он начал 35 лет назад на кафедре дифференциальных уравнений будучи аспирантом. Его лекции отличаются доступностью и ясностью, оказывая огромное влияние на студенческую среду.
Большой вклад Н.И.Юрчук вносит в подготовку высоко квалифицированных научных кадров. Начиная с 1983 года, он неизменно является председателем совета по защитам кандидатских и докторских диссертаций при БГУ по специальностям 01.01.01 – математический анализ и 01.01.02 – дифференциальные уравнения. Под научным руководством Н.И. Юрчука подготовили и успешно защитили диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук А.Л. Гладков и Ф.Е. Ломовцев. Также Николаем Иосифовичем подготовлено 15 кандидатов физико-математических наук. Среди них Я.В. Радыно, А.А. Кулешов, В.И. Чесалин, В.И. Яшкин, Э.М. Аксень, Н.В. Гаврилова, С.И. Максимович, А.В. Картыник, Н.В. Цывис, С.М. Алексеева, Ульрике Энгельманн (Германия), Аль-Момами Райд Рашид и Абабна Муса Иордании (Иордания), Абдо Савет Ахмет (Йемен), Чарие Коку (Республика Того).
Наряду с интенсивной научной и педагогической работой Н.И.Юрчук активно участвовал в организационной работе и общественной жизни. Он был членом Оргкомитетов четырех конференций математиков Белоруссии (1982, 1992, 1997, 2000 гг.) и Оргкомитетов двух международных конференций «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» (Минск, 1993 и 2001 г.), проводимых БГУ совместно с Институтом математики НАН Беларуси. Являлся членом Президиума ВАК Беларуси, координатором Межвузовской программы фундаментальных исследований «Анализ и динамические системы», членом редколлегии журнала «Вестник БГУ» Серия 1. Огромную работу Н.И.Юрчук проделал как ученый секретарь Ученого совета БГУ.
Н.И.Юрчук – человек разносторонних интересов и широкой эрудиции. Он живо интересуется вопросами литературы, истории, международной науки. Он большой любитель спорта и музыки, хорошо играет в шахматы, прекрасно играет на гитаре. Широкий кругозор, прекрасная научная интуиция и преданность науке создает вокруг него доброжелательную и творческую атмосферу. Любитель остроумной шутки, приятный и интересный собеседник – таким предстает Николай Иосифович в общении.
Н.И. Юрчук награжден орденом «Знак Почета» (1987), является Академиком Петровской академии наук и искусств. В 2021 году Николаю Иосифовичу вручен нагрудный знак «100 год БДУ»