Родился в Минске в 1939 г. В 1960 г. с отличием окончил Белорусский государственный университет и поступил в аспирантуру Института математики. В 1963 г. защитил кандидатскую диссертацию (научный руководитель – Д. А. Супруненко). С 1963 г. по 1996 г. А. Е. Залесский работал в Институте математики; занимал должности старшего инженера-конструктора (1963 г.), главного инженера, и. о. младшего научного сотрудника (1964–1965 гг.), старшего научного сотрудника (1965–1982 гг.), и.о. заведующего лабораторией алгебры (1982–1983 гг.), заведующего лабораторией алгебры (1983–1993 гг.), главного научного сотрудника (1993–1996 гг.). В 1975 г. математик защитил докторскую диссертацию, а в 1986 г. ему присвоено звание профессора. В 1991 г. А. Е. Залесский был избран членом-корреспондентом НАН Беларуси.
Основные области научных интересов А. Е. Залесского: теория линейных групп и классические группы; теория колец и групповых алгебр; теория представлений конечных и алгебраических групп, в особенности задачи распознавания и асимптотические проблемы; структурная теория алгебраических групп и конечных групп Шевалле; тождественные соотношения в ассоциативных и лиевых алгебрах; простые локально конечные группы. В 60-х и 70-х гг. прошлого века он активно работал в области линейных групп, групповых колец, общей теории групп. А. Е. Залесскому удалось распространить основные элементы теории максимальных разрешимых линейных групп над полями, созданной Д. А. Супруненко, на группы над конечномерными телами. Им описаны подгруппы Силова полной линейной и классических групп над телом, получена оценка числа классов сопряженности таких подгрупп для полной линейной группы над телом, изучены подгруппы Силова классических групп над полями (совместно с В. С. Конюхом) и максимальные периодические подгруппы полной линейной группы над полем положительной характеристики, доказан ряд структурных теорем о разрешимых периодических и локально конечных линейных группах над телами.
А. Е. Залесский описал структуру идеалов групповых колец разрешимых и нильпотентных групп, получил критерий полупростоты групповой алгебры разрешимой группы над произвольным полем, установил локальную нильпотентность радикала Джекобсона такой алгебры. Его теорема о коэффициенте при единице у идемпотента группового кольца доказывает и обобщает известную гипотезу Капланского. Также математик получил условие полупростоты групповой алгебры, справедливое для произвольных линейных групп в положительной характеристике, поле определения которых совпадает с основным полем. А. Е. Залесским совместно с О. М. Нерославским положительно решена известная проблема Фейса о существовании простых нетеровых колец с делителями нуля, но без идемпотентов.
В середине 1970-х гг. А. Е. Залесский с учениками начали исследования конечных линейных групп, близких к простым, и тождеств в ассоциативных и лиевых алгебрах. Изучение таких групп потребовало разработки принципиально новых подходов, существенно отличающихся от методов теории линейных разрешимых групп. Была получена классификация конечных абсолютно неприводимых линейных групп степеней 4 и 5, описаны конечные неприводимые линейные группы, порожденные элементами заданного вида: трансвекциями, псевдоотражениями (группы, порожденные такими элементами, были независимо описаны А. Вагнером). Некоторые из этих результатов были получены в соавторстве с В. Н. Сережкиным (о группах, порожденных трансвекциями и псевдоотражениями) и И. Д. Супруненко (о группах степени 4).
А. Е. Залесским доказано следующее комбинаторное тождество для матриц степени над полем положительной характеристики: для любого набора из таких матриц сумма их всевозможных произведений, где каждая матрица входит не более одного раза, равна 0. Совместно с И. Б. Воличенко им установлены новые связи между многообразиями колец и представлениями симметрической группы, описаны некоторые зависимости между модулями полилинейных тождеств и их следствиями степени.
В 1980-х гг. сотрудники лаборатории алгебры под руководством А. Е. Залесского начинают заниматься теорией представлений алгебраических и связанных с ними конечных групп. При этом особое внимание уделяется классификационным аспектам теории представлений и проблемам распознавания представлений и линейных групп по свойствам отдельных матриц. Целенаправленно разрабатываются методы исследования собственных значений матриц в представлениях групп Шевалле. Благодаря им А. Е. Залесскому удалось решить задачу о минимальных многочленах для конечных квазипростых линейных групп в характеристике и для образов унипотентных элементов в представлениях конечных классических групп в несобственной характеристике (часть этих результатов получена в соавторстве с Ди Мартино и Тьепом). Это позволило частично распространить на некоторые квазипростые группы теорему Холла и Хигмана о минимальных многочленах, доказанную ими для групп, близких к разрешимым. А. Е. Залесским получен полный список конечных групп Шевалле и их неприводимых представлений в несобственной характеристике, в которых некоторый унипотентный элемент простого порядка не имеет собственного значения 1, т.е. не имеет неподвижных точек. Им найдены фрагменты матриц разложения в собственной характеристике для конечных унитарных, специальных линейных и симплектических групп (для групп двух последних типов в соавторстве с И. Д. Супруненко). А. Е. Залесский и И. Д. Супруненко классифицировали неприводимые представления конечных групп Шевалле в собственной характеристике, содержащие матрицы с собственными значениями кратности 1. Используя методы теории представлений, А. Е. Залесский и Б. Хартли описали плотные подгруппы простых алгебраических групп над замыканием конечного поля, завершив тем самым классификацию максимальных подгрупп таких групп. А. Е. Залесским совместно с Ди Мартино и Тамбурини охарактеризованы подгруппы Картера конечных классических групп.
Также в 1980-х гг. А. Е. Залесский получил ряд результатов об инвариантах линейных групп, уделяя особое внимание группам, порожденным псевдоотражениями. Им опровергнуто опубликованное в 1981 г. утверждение А. Вагнера о свободе алгебры инвариантов такой группы, явно указана группа степени 11, порожденная псевдоотражениями с несвободной алгеброй инвариантов, изучено строение замкнутых в топологии Зарисского линейных групп, порожденных псевдоотражениями. Совместно с А. Е. Велесько А. Е. Залесский доказал, что кольцо инвариантов неразложимой линейной группы в характеристике 0, порожденной псевдоотражениями, совпадает с кольцом инвариантов ее унипотентного радикала, а поле инвариантов этой группы рационально. Ими же построен пример группы, порожденной отражениями, с бесконечно порожденной алгеброй инвариантов.
С начала 1990-х гг. А. Е. Залесский активно разрабатывает новый подход к исследованию групповых алгебр локально конечных групп, основанный на применении теории представлений конечных групп. Было обнаружено соответствие между введенными им индуктивными системами представлений и идеалами групповых алгебр локально конечных групп. Анализ таких систем позволил А. Е. Залесскому выяснить условия почти простоты групповых алгебр некоторых важных классов групп. А. Е. Залесский и Д. Пассман доказали полупростоту групповой алгебры простой локально конечной группы, не являющейся линейной, что сыграло важную роль в завершении описания радикалов Джекобсона групповых алгебр локально конечных групп. Понятие индуктивной системы представлений оказалось полезным также для исследования асимптотических проблем, связанных с ограничениями представлений на подгруппы (подалгебры) значительно меньших рангов или порядков.
Среди учеников А. Е. Залесского – 2 доктора и 9 кандидатов физико-математических наук. Он внес существенный вклад в развитие международных научных связей белорусских алгебраистов, работающих в области теории представлений и теории линейных групп, был соруководителем немецко-белорусского проекта «Теория представлений конечных групп» и руководителем белорусской группы международного проекта ИНТАС. С 1997 г. по 2004 г. А. Е. Залесский являлся профессором Университета Восточной Англии в г. Норидже.