Родился в 1904 году в городе Царицын (ныне Волгоград). Окончил Саратовский университет в 1931 году и аспирантуру МГУ в 1936 году. Работал в Сталинградском педагогическом институте (1936–1942 гг.), в Уфимском авиационном институте (1942–1943), в Камышинском педагогическом институте (1943–1945).
В 1944 г. Л. К. Тутаев защитил кандидатскую диссертацию на тему «О проблеме Шаля» из области проективной геометрии.
12 октября 1945 года Л. К. Тутаев был зачислен доцентом БГУ на кафедру геометрии и в 1954 году он стал заведующим кафедрой геометрии, которую возглавлял по 1969 г. В БГУ работал вплоть выхода на пенсию 1 июля 1974 года.
С его приходом геометрические исследования получили новый импульс. В 1955 г. он начал свои заседания, организованный при кафедре городской геометрический семинар. Л. К. Тутаев был инициатором его создания, первым руководителем и до последних дней его активным участником.
В 1959 г. Л. К. Тутаев издал первую после войны в нашей республике монографию по геометрии «Геометрия Лобачевского», содержание которой не утратило актуальности до нашего времени. Он становится активным пропагандистом нового в то время метода внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. Спецкурсы, спецсеминары по этой тематике, непосредственное использование этого метода в научных исследованиях позволили ученому создать белорусскую научную школу внешних дифференциальных форм в геометрии. Итогом работы в этом направлении явилась изданная в 1962 г. его монография «Линии и поверхности в аффинном трехмерном пространстве», переведенная на английский язык и изданная в США.
Методом внешних форм и подвижного репера Л. К. Тутаев построил основы теории линий и поверхностей в проективном, аффинном, эллиптическом пространствах и в пространстве Минковского. Результаты по геометрии пространства Минковского он успешно применил для решения некоторых задач электродинамики. Ученый опубликовал более 50 научных работ, подготовил 5 кандидатов наук.
По инициативе Л. К. Тутаева на кафедре геометрии начались работы по созданию учебных пособий. В 1963 г. вышел «Сборник задач по дифференциальной геометрии», одним из авторов которого является Л. К. Тутаев, затем неоднократно переизданный и переведенный на венгерский, французский и испанский языки.
Среди его учеников кандидаты физико-математических наук Е. В. Коробенок, А. А. Бурдун, К. Д. Лукин, В. И. Платонова, Р. П. Хацкевич.