Матус Петр Павлович

Матус Петр Павлович родился в 1953 году в городском поселке Россь, Волковысского района, Гродненской области. После окончания в 1975 году факультета прикладной математики Белорусского государственного университета по специальности прикладная математика был направлен на работу в Институт математики Национальной академии наук Беларуси.

Прошел путь от стажера-исследователя до главного научного сотрудника. На протяжении многих лет был заведующим отдела численного моделирования и заместителем директора по научной и инновационной работе. Работая в должности заместителя директора организовал отдел информационных технологий, который до сих пор работает над выполнением прямых договоров с американскими компаниями и принес институту математики около 3 миллионов долларов. Общий стаж работы Матуса Петра Павловича в институте на сегодняшний день составляет 48 лет.

В 1980 году он защитил кандидатскую диссертацию на тему «О сходимости разностных схем одномерной газовой динамики» под руководством профессора В.Н. Абрашина (Институт математики НАН Беларуси) и профессора Ю.П. Попова (Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша Российской академии наук), а в 1995 году в Институте математического моделирования Российской академии наук докторскую диссертацию на тему «Разностные схемы на адаптивных сетках для краевых задач математической физики». В ВАК России она была признана наиболее интересной по специальности «вычислительная математика».

Решением Аттестационной коллегии Министерства образования РБ в апреле 1996 году ему присвоено звание профессора по специальности «Вычислительная математика», и в ноябре 2018 года был избран членом-корреспондентом Национальной академии наук Беларуси.

П.П. Матус известный математик, крупный специалист в области математического моделирования, являющегося интеллектуальным ядром современной информатики. Им выполнены основополагающие работы в области построения и исследования вычислительных методов адаптивного типа, позволяющие существенно сократить машинное время при моделировании прикладных задач на ЭВМ. Разработал теорию устойчивости операторно-разностных схем с переменными весовыми множителями. С помощью этой теории удалось построить новые эффективные вычислительные методы на адаптивных сетках. Автор пионерских работ по коэффициентной и нелинейной устойчивости решений дифференциально-операторных уравнений и операторно-разностных схем.

П.П. Матус опубликовал 4 книги, две из которых изданы на английском языке за рубежом, 187 научных статей в различных математических журналах, 111 из них опубликованы в западных журналах с импакт фактором, 10 статей опубликовано в журнале «Доклады Российской академии наук». Он является одним из создателей в 2001 году международного журнала на английском языке “Computational methods in applied mathematics”, который издается авторитетным германским издательством De Gruyter от имени Института математики НАН Беларуси. Журнал был создан для укрепления и расширения международного научного сотрудничества в области прикладной вычислительной математики и математического моделирования. За прошедшие годы CMAM стал авторитетным научным издательством. Он реферируется известными в мире математическими информационными службами, такими как Web of Science, Mathematical Reviews, Zentralblatt и имеет Импакт фактор 1.5. Под эгидой этого авторитетного журнала регулярно проводятся международные конференции. Уже состоялись 9 таких конференций: 2003 г. Минск; 2005г. Тракай, Литва; 2007 г. Минск; 2010 г. Познань, Польша; 2012 г. Берлин, Германия; 2014 г. Линц, Австрия; 2016 г. Ювяскуле, Финляндия; 2018 г. Минск; 2022 г. Вена, Австрия. Подобные конференции способствуют установлению и укреплению международных связей в области прикладной вычислительной математики.

Кратко остановимся на полученных П.П. Матусом научных результатов.

Сходимость. Центральным вопросом теории разностных схем является вопрос о сходимости. На протяжении всей своей научной деятельности он занимался изучением этого свойства для вычислительных метод, аппроксимирующих квазилинейные краевые задачи для уравнений математической физики с нелинейностями неограниченного роста. Именно такие уравнения с нелинейностями подобного типа наиболее часто встречаются при описании реальных физических процессов. Ему впервые совместно со своим научным руководителем профессором В.Н. Абрашиным и своими учениками удалось доказать сходимость в сильных энергетических нормах и сеточном аналоге равномерной нормы решений конечно-разностных методов, аппроксимирующих уравнения газовой динамики в переменных Лагранжа в предположении наличия слабых разрывов в решении дифференциальной задачи [5–9]. Используемый при этом так называемый ?-метод В.Н. Абрашина обладал одним существенным недостатком. Его применение было ограничено соотношениями сеточных шагов типа Куранта, что, во-первых, было неестественно для достаточно гладкого решения исходной дифференциальной задачи, и во-вторых это давало лишь условную сходимость и устойчивость. В своей классической работе [10] Петр Павлович предложил двухэтапный энергетический метод, позволяющий снять неестественные ограничения на шаги сетки и доказать безусловную сходимость решения разностных схем, аппроксимирующих нелинейные краевые задачи для уравнений в частных производных с наличием нелинейностей неограниченного роста. Отметим также цикл работ П.П. Матуса по получению согласованных оценок точности, когда решение принадлежит пространству Соболева  и удовлетворяет дифференциальной задаче в частных производных лишь в обобщенном смысле [12–23].

В заключении этого раздела отметим еще один классический результат Матуса П.П. Как известно, основными понятиями теории разностных схем являются аппроксимация, устойчивость и сходимость. Связь между этими понятиями дается теоремой Филиппова–Рябенького, которая за рубежом известна как теорема эквивалентности Лакса: для согласованного конечно-разностного метода для корректно поставленной линейной начально-краевой задачи для уравнений в частных производных разностный метод сходится тогда и только тогда, когда он устойчив. В нелинейном случае из сходимости, вообще говоря, не следует устойчивость. В своей работе [24] Петр Павлович обобщил теорему Лакса на абстрактные нелинейные задачи. В нелинейном случае такой критерий удается установить лишь для безусловно устойчивых вычислительных методов. Проведенные исследования позволяют сделать вывод о тесной и неразрывной связи понятий устойчивости в дискретном и непрерывном случаях.

Устойчивость. Основной вопрос теории – о точности схемы – сводится к изучению погрешности аппроксимации и устойчивости схемы. Изучение устойчивости схемы базируется на получении априорных оценок решения разностной задачи через входные данные задачи, что является большой самостоятельной проблемой, требующей специального рассмотрения. Важность понятия устойчивости подчеркивается и корректностью дифференциальной или разностной задачи по Адамару: решение существует, единственно и непрерывно зависит от входных данных задачи. Если для анализа устойчивости разностных схем существует разработанная академиком А.А. Самарским и профессорам А.В. Гулиным теория устойчивости операторно-разностных схем с операторами, действующими в конечномерных гильбертовых пространствах, то для нелинейных разностных схем с нелинейностями неограниченного роста этот вопрос долгое время был открыт. В своей первой работе на эту тему [25] Петр Павлович доказал устойчивость решений разностных схем, аппроксимирующих квазилинейное уравнение параболического типа и уравнение переноса. В этой же работе отмечается, что предварительно нужно иметь априорные оценки всех производных, входящих в разностное уравнение, которые необходимы также для доказательства существования и единственности разностного решения. Если в линейном случае для получения априорных оценок для нестационарных задач через входные данные задачи используется известная лемма Гронуолла-Беллмана, то в нелинейном случае для этих целей он использовал сеточный аналог леммы Бихари [26]. Тем самым был указан какой математический аппарат необходимо привлекать для исследования вопросов устойчивости в нелинейных задачах. Кроме того, априорные оценки устойчивости были установлены лишь до конечного момента времени, связанного с появлением таких физических эффектов как градиентная катастрофа (возникновение ударных волн), blow-up (взрыв) в задачах с нелинейными источниками. Самое интересное заключается в том, что время возникновения таких катастроф устанавливается на основе поведения производных от входных данных задачи, которые априори известны. Дальнейшие результаты в этом направлении приведены в работах [16, 24, 27–33].

Коэффициентная устойчивость. Для приближенного решения нестационарных задач математической физики при дискретизации по времени наиболее часто используются двух – и трехслойные схемы. При исследовании их корректности основное внимание обычно уделяется устойчивости решения по начальным данным, правой части и граничным условиям. Однако при численном решении дифференциальной задачи может оказаться, что коэффициенты уравнений, выражающие конкретные характеристики непрерывной модели, вычисляются неточно в результате измерения приборами, наблюдений и т.п. Отсюда ясно, насколько важно изучение схем с возмущенными коэффициентами. На абстрактном уровне возникающие здесь проблемы главным образом связаны с выбором меры оценки нормы возмущения неограниченного операторного коэффициента. Последнее обстоятельство объясняет отсутствие результатов по коэффициентной устойчивости для нестационарных задач не только в теории операторно-разностных схем, но и в теории дифференциально-операторных уравнений. В своих совместных работах [34–49] с известными российскими учеными, академиком РАН А.А. Самарским, профессором П.Н. Вабищевичем, белградским профессором Б.С. Йовановичем и белорусским математиком С.В. Лемешевским, своей болгарской аспиранткой Й.Н. Понайотовой, П.П. Матус получил серьезные результаты по исследованию коэффициентной устойчивости для различных нестационарных задач математической физики. В этом списке публикаций отметим обзорную работу [43] и работы [48], [49]. В [43] впервые дано определение нормы возмущения неограниченного операторного коэффициента в банаховом пространстве, а две последние посвящены исследованию сильной устойчивости решения разностных схем, аппроксимирующих нелинейные и нестационарные задачи.

Монотонные схемы. Понятие монотонности является фундаментальным как с теоретической, так и с практической точки зрения при построении разностных схем заданного качества. Монотонные схемы удовлетворяют сеточному принципу максимума и обладают нескольким замечательными свойствами. Во-первых, из принципа максимума следует неотрицательность приближенного решения при неотрицательных входных данных, что очень важно для получения физически корректного решения и отсутствия нефизических осцилляций. Во-вторых, принцип максимума используется для исследования устойчивости и сходимости разностных схем в самой сильной равномерной норме. В-третьих, в результате реализации монотонных схем получаются хорошо обусловленные системы линейных алгебраических уравнений. Отметим наиболее существенные результаты, полученные Петром Павловичем в этом направлении. Для многомерных эллиптических и параболических уравнений со смешанными производными впервые построены и исследованы безусловно монотонные разностные схемы с сохранением второго порядка точности [50–54]; работы с испанскими математиками F.J. Gaspar и F.J. Lisbona [55–57], посвященные разработке и анализу монотонных схем для нелинейной Biot модели в теории упругости, фундаментальные работы [58–60] по изучению понятий устойчивости и монотонности для нелинейных уравнений в частных производных. Фундаментальной является также, и работа [61], в которой впервые для разностных схем, аппроксимирующих системы параболических и эллиптических уравнений сформулировано как само понятие монотонности, так и приведены соответствующие результаты. Укажем также важные работы П.П. Матуса [43], [62–65] по разработке соответствующего математического аппарата для анализа монотонных схем в нелинейных задачах математической физики.

Адаптивные сетки. Правильный выбор расчетной сетки в задачах математической физики всегда являлся важнейшим компонентом численного решения. Более грубую сетку имеет смысл использовать в местах достаточно плавного поведения решения, а более мелкую – вблизи различных особых точек (тепловых фронтов, ударных волн и др.). Самое главное, адаптивные сетки позволяют существенно сократить машинное время при математическом моделировании прикладных задач на ЭВМ. Свои первые работы в этом направлении П.П. Матус опубликовал еще в 1991 году. С тех пор в соавторстве с другими известными учеными были созданы уникальные вычислительные методы адаптивного типа, среди которых можно выделить алгоритмы на динамических локально сгущающихся сетках для многих классов уравнений в частных производных, построенные на базе специального усреднения Стеклова. За этот период была создана теория операторно-разностных схем с операторно весовыми множителями, позволяющая обосновать применение тех или иных вычислительных методов адаптивного типа в вычислительной практике. Полученные результаты опубликованы в более чем сорока журнальных статьях и трех монографиях, 2 из которых изданы на западе.

Компактные схемы. Одной из важнейших задач вычислительной математики является построение и исследование разностных схем повышенного порядка точности, аппроксимирующих уравнения математической физики. Среди таких методов большую популярность получили компактные схемы, которые записываются на стандартных для данного уравнения шаблонах. Это позволяет без увеличения каких-нибудь вычислительных затрат существенно увеличить точность разностных схем. Такие методы до недавнего времени были разработаны лишь для линейных уравнений математической физики как с постоянными, так и переменными коэффициентами. Естественно, они не представляли интерес для математического моделирования сложных физических процессов. В последние годы П.П. Матус совместно со своими аспирантами существенно развил теорию компактных схем на полулинейные и квазилинейные уравнения параболического и гиперболического типов. Среди них уравнение Клейна-Гордона (используется для изучения солитонов и физике конденсированного вещества), уравнение Фишера (встречается при описании биологических процессов, теории горения и т.д.). Основные результаты по данной тематике отражены в работах [64–69].

О совместных работах с А.А. Самарским. Александр Андреевич Самарский советский и российский математик, академик российской академии наук, ученый с мировым именем, герой Социалистического труда, основоположник метода математического моделирования, автор более 30 монографий и 500 научных статей, первый в мире провел расчеты атомной и термоядерной бомб. Оказал огромное влияние на развитие вычислительной математики в Беларуси. За огромные заслуги перед нашей республики в 2000 году был избран Почетным членом Национальной академии наук Беларуси. После успешной защиты докторской диссертаций в Москве в 1995 году А.А. Самарский пригласил П.П. Матуса для совместной с ним и профессором П.Н. Вабищевичем (кстати, тоже белорусом) работы в области вычислительной математики. Период их плодотворного сотрудничества длился практически 10 лет. Получено много замечательных результатов, которые отражены в 33 научных статьях и 2-х монографиях, одна из которых была издана за рубежом    [2, 3]. Характеристика полученных результатов отражена в статье П.П. Матуса, которая опубликована в книге [70], посвященной столетию со дня рождения знаменитого ученого. Приведем здесь лишь описание одной научной идеи построения вычислительных методов на адаптивных сетках.

При построении адаптивных численных алгоритмов приближенного решения задач математической физики часто приходится использовать неравномерные сетки. При переходе от равномерной сетки к неравномерной порядок локальной аппроксимации обычно падает. Мы обратили внимание на возможность повышения локальной точности метода за счет аппроксимации исходного дифференциального уравнения не в узлах расчетной сетки, а в некоторых промежуточных точках расчетной области. В случае прямоугольных сеток – это центр массы системы материальных точек единичной массы, входящих в шаблон схемы. А.А. Самарским, П.Н. Вабищевичем, П.П. Матусом [71–74] для одномерных нестационарных задач построены и исследованы различные классы конечно-разностных методов повышенного порядка аппроксимации на неравномерных прямоугольных сетках. В последующих работах этих же авторов полученные результаты обобщаются на многомерные эллиптические уравнения, причем построенные алгоритмы обладают свойством монотонности. Отметим, что разностные схемы повышенного (второго и третьего) порядка аппроксимации были известны и ранее. Однако монотонность таких схем имеет место при очень жестких ограничениях на шаги сеток – фактически речь идет о квазиквадратных сетках. Среди наиболее важных обобщений в данном направлении отметим возможность построения аналогичных алгоритмов и для произвольных многосвязных областей [75, 76]. Фактически на 7, 8-точечных шаблонах для двумерного уравнения Пуассона удалось построить монотонные схемы второго порядка аппроксимации. Аналогичные методы построены для трехмерных задач и уравнений конвекции-диффузии [77].

О прикладных исследованиях П.П. Матуса. На основе предложенных и изученных вычислительных методов разработаны комплексы программ и проведено прямое моделирование многих прикладных задач физики и техники с помощью ЭВМ в рамках различных научно-технических программ. Среди них взаимодействие ядерных взрывов, электроэрозионная обработка металлов [78], течение жидкости в разветвленных гидроприводах машин [79], закупорка и разгерметизация системы анероидно-мембранных приборов самолетов, анализ процесса высокоэнергетической ионной имплантации при производстве новых приборов в микроэлектронике [80–82], исследование газодинамического следа в атмосфере, моделирование тепловых режимов космических аппаратов. В рамках четырех проектов         ИНТАС выполнены исследования по задачам лазерной технологии и гидро-экологическим проблемам.

Петр Павлович ведет большую научно-организованную, педагогическую и общественную работу, неоднократно являлся приглашенным лектором крупнейших международных конференций, проводимых в США, Германии, Австрии, Финляндии, Турции и многих других странах. Подготовил и защитил 21-го кандидата физико-математических наук, член редколлегии двух отечественных и шести зарубежных журналов, руководитель городского семинара по математическому моделированию, член экспертного совета по математике ВАК Республики Беларусь.

Публикации

1. Матус, П.П. Математическое моделирование в биологии и медицине: Аннотационный справочник / П.П. Матус. — Мн.: Беларуская навука, 1997. — 207 с.
2. Самарский, А.А. Разностные схемы с операторными множителями / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, П.П. Матус. — Минск: Изд-во ЗАО “ЦОТЖ”, 1998. — 442 с.
3. Samarskii, A.A. Difference schemes with operator factors / A.A. Samarskii, P.P. Matus, P.N. Vabishchevich. — Dordrecht: Kluwer, 2002. — 394 p.
4. Lemeshevsky, S. Exact finite-difference schemes / S. Lemeshevsky, P. Matus, D. Poliakov. — De Gruyter, — 243 p.
5. Абрашин, В.Н. Разностные схемы для нелинейных гиперболических уравнений с кусочно-гладкими решениями. I / В.Н. Абрашин, П.П. Матус // Дифференц. уравнения. — 1978. — Т.14, № 12. — С. 2223–2239.
6. Абрашин, В.Н. Разностные схемы для нелинейных гиперболических уравнений с кусочно-гладкими решениями. II / В.Н. Абрашин, П.П. Матус // Дифференц. уравнения. — 1979. — Т.15, №7. — С.1225–1238.
7. Абрашин, В.Н. О точности разностных схем для одномерных задач газовой динамики / В.Н. Абрашин, П.П. Матус // Дифференц. уравнения. — 1981. — Т.17, №7. — С.1155–1170.
8. Матус, П.П. О сходимости разностных схем для одномерных задач газовой динамики с учетом теплопроводности / П.П. Матус, А.Н. Шавель // Дифференц. уравнения. — 1983. — Т.19, №7. — С.1251–1261.
9. Матус, П.П. О безусловной сходимости некоторых разностных схем задач газовой динамики / П.П. Матус // Дифференц. уравнения. — 1985. — Т.21, №7. — С.1227–1238.
10. Матус, П.П. О безусловной сходимости разностных схем для нестационарных квазилинейных уравнений математической физики / П.П. Матус, Л.В. Станишевская // Дифференц. уравнения. — 1991. — Т.27, №7. — С.1203–1219.
11. Матус, П.П. Согласованные оценки скорости сходимости метода сеток для нелинейного уравнения второго порядка с обобщенными решениями / П.П, Матус, М.Н. Москальков, В.С. Щеглик // Дифференц. уравнения. — 1995. — Т.31, №7. — С.1219–1226.
12. Йованович, Б.С. Оценки скорости сходимости разностных схем на неравномерных сетках для эллиптических задач с обобщенными решениями / Б.С. Йованович, П.П. Матус // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1999. — Т. 39, №1. — С. 61–69.
13. Йованович, Б.С. Оценки скорости сходимости разностных схем на неравномерных сетках для параболических задач с переменными коэффициентами и обобщенными решениями / Б.С. Йованович, П.П. Матус, В.С. Щеглик // Сибирский журнал вычислительной математики. —   — Т. 2, №2. — С. 123–136.
14. Йованович, Б.С. О точности разностных схем для нелинейных параболических уравнений с обобщёнными решениями / Б.С. Йованович, П.П. Матус, В.С. Щеглик // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1999. — Т. 39, №10. — С. 1679–1686.
15. Jovanovich, B.S. The estimates of accuracy of difference schemes for the nonlinear heat equation with weak solutions / B.S. Jovanovich, P.P. Matus, V.S. Shchehlik // Mathematical Modelling and Analysis (MMA). — 2000. — Vol. 5. —      86–96.
16. Матус, П.П. О корректности разностных схем для полулинейного уравнения с обобщенными решениями / П.П. Матус // Журн. вычислит. матем. и матем. физ. — 2010. — Т.50, №. 12. — C. 2155–2175
17. Matus, P.P. Well-posedness and blow up for IBVP for semilinear parabolic equations and numerical methods / P.P. Matus, S. Lemeshevsky, A. Kandratsiuk // Comput. Meth. Appl. Math. — 2010 — Vol. 10, № 4. — P. 395–420.
18. Jovanovic, B. Stability of finite-difference schemes for IBVP for multidimensional parabolic equations with a nonlinear source of the power type / B. Jovanovich, M. Lapinska- Chrzczonowicz, A. Matus, P. Matus // Comp. Meth. Appl. Math. — 2012. — Vol. 3. — P. 289–305.
19. Matus, P. On convergence of difference schemes for IBVP for quasilinear parabolic equations with generalized solutions / P. Matus // Meth. Appl. Math. — 2014. — Vol. 14, № 3. — P. 361–371.
20. Gaspar, F.J. Numerical methods for a one-dimensional non-linear Biot’s       model / J. Gaspar, F.J. Lisbona, P. Matus, V.T.K. Tuyen // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2016. — V. 293. — P. 62–72.
21. Matus, P. Analysis of second order difference schemes on non-uniform grids for quasilinear parabolic equations / P.P. Matus, L.M. Hieu, G. Vulkov // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2017. — Vol. 310. — P.186–199.
22. Matus, P. On convergence of difference schemes for Dirichlet IBVP for two-dimensional quasilinear parabolic equations / P. Matus, D. Poliakov, D. Pylak // International Journal of Environment and Pollution. — — Vol. 66. — P. 63–79.
23. Matus, P. On convergence of difference schemes for Dirichlet IBVP for two-dimensional quasilinear parabolic equations with mixed derivatives and generalized solutions / Matus, D. Poliakov, L. M. Hieu // Comput. Methods in Appl. Math. — 2020. — Vol. 20, № 4 — P. 695–707.
24. Матус, П.П. Критерий устойчивости разностных схем для нелинейных дифференциальных задач / П.П. Матус // Дифференц уравнения. — 2021. — Т.57, №6. — С. 821–829.
25. Matus, P. Stability of difference schemes for nonlinear time — dependent problems / P. Matus // Comput. Meth. Appl. Math. — 2003. — Vol. 3, №2. — P. 313–
26. Лемешевский, С.В. Лемма Бихари и ее применение к исследованию устойчивости нелинейных разностных схем / С.В. Лемешевский, Е.К. Макаров, П.П Матус // Доклады НАН Беларуси. — 2010. — Т. 54, № 1. — С. 5–9.
27. Матус, П.П., Марцинкевич Г.Л., Чуйко М.М. Устойчивость разностных схем в инвариантах Римана для политропного газа / П.П. Матус, Г.Л. Марцинкевич, М.М. Чуйко // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2010. — Т. 50, № 6. — С. 1078–1091.
28. Матус, П.П. Устойчивость по начальным данным и монотонность неявной разносной схемы для однородного уравнения пористой среды с квадратичной нелинейностью / П.П. Матус // Дифференц. уравнения. — 2010. — Т. 46, № 7. — С. 1011–1021.
29. Matus, P.P. Well-posedness and blow up for IBVP for semilinear parabolic equations and numerical methods / P.P. Matus, S. Lemeshevsky, A. Kandratsiuk // Comput. Meth. Appl. Math. — 2010. — Vol. 10,         № 4. — P. 395–420.
30. Jovanovic, B. Stability of finite-difference schemes for IBVP for multidimensional parabolic equations with a nonlinear source of the power type / Jovanovic, M. Lapinska-Chrzczonowicz, A. Matus,  P. Matus // Comp. Meth. Appl. Math. — 2012. — Vol. 3. — P. 289–305.
31. Матус, П.П. Устойчивость и монотонность консервативной разностной схемы для многомерного нелинейного скалярного закона сохранения / П.П. Матус, Й.Н. Панайотова, Д.Б. Поляков // Дифференц. уравнения. — 2012. — Т. 48, № 7. — С. 997–1004.
32. Матус, П.П. О роли законов сохранения в проблеме возникновения неустойчивых решений для квазилинейных параболических уравнений и их аппроксимаций / П.П. Матус // Дифференц. уравнения. — 2013. — Т. 49, № 7. — С. 911–922.
33. Матус, П.П. О роли законов сохранения и входных данных при возникновении режимов с обострением в квазилинейных многомерных параболических уравнениях с нелинейным источником и их аппроксимациях / П.П, Матус, Н.Г. Чурбанова, Д.А. Щадинский // Дифференц. уравнения. — 2016. — Т. 52, № 7. — С. 981–989.
34. Самарский, А.А., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Сильная устойчивость дифференциально-операторных и операторно-разностных схем / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, П.П. Матус // Докл. РАН. — 1997. — Т. 356, № 4. — С.455–457.
35. Самарский, А.А. Коэффициентная устойчивость дифференциально-операторных и операторно-разностных схем / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, П.П. Матус // Матем. моделирование. 1998. Т. 10, № 8. С. 103-113.
36. Матус, П.П. Сильная устойчивость дифференциально операторных уравнений и операторно-разностных схем / П.П. Матус, Й.Н. Панайотова // Дифференц. уравнения. — 1999. — Т. 35, №2. — С. 256–265.
37. Матус, П.П. Сильная устойчивость трехслойных операторно-разностных схем / П.П. Матус, Й.Н. Панайотова // Докл. НАН Беларуси. — 1999. — Т. 43, № 6. — С. 33–37.
38. Matus, P.P. Coefficient Stability of Operator-Difference Schemes / P.P. Matus, B.S. Jovanovich // Mathematical Modelling and Analysis (MMA). 1999. — Vol. 4. — P. 135–146.
39. Самарский, А.А. Достаточные условия коэффициентной устойчивости операторно-разностных схем / А.А. Самарский, А.В. Гулин, П.П. Матус // Докл. РАН. — 2000. — Т. 373, № 3. — С. 304–306.
40. Матус, П.П. Коэффициентная устойчивость трехслойных операторно-разностных схем / П.П. Матус, Й.Н. Панайотова // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. — Т. 41, № 5. — С. 722–731.
41. Йованович, Б.С. Сильная устойчивость дифференциальных уравнений второго порядка с неограниченными операторными коэффициентами / Б.С. Йованович, П.П. Матус // Докл. НАН Беларуси. — 2002. — Т. 46, № 1. С. 17–20.
42. Йованович, Б.С. Коэффициентная устойчивость дифференциально-операторных уравнений второго порядка / Б.С. Йованович, П.П. Матус // Дифференц. уравнения. — 2002. — Т. 38, № 10. — С. 1371–1377.
43. Matus, P.P. The maximum principle and some of its applications / P.P. Matus // Comput. Meth. Appl. Math. — 2002. — Vol. 2, № 1. — Р. 50–91.
44. Бойович, Д. О сильной устойчивости дифференциально-операторных уравнений первого порядка / Д. Бойович, Б.С. Йованович, П.П. Матус // Дифференц. уравнения. — 2004. — T. 40, № 5. — C. 655–661.
45. Лемешевский, С.В. Критерий коэффициентной устойчивости / С.В. Лемешевский, П.П. Матус, А.Р. Наумович // Дифференц. уравнения. — 2004. — T. 40, № 7. — C. 978–984.
46. Jovanovich, B.S. Stability of solutions of differential-operator and operator-difference equations in the sense of perturbation of operators / B.S. Jovanovich [et al.] // Соmрut. Meth. Appl. Math. — 2006. — Vol. 6, № 3. — P. 269–290.
47. Jovanovich, P. Matus // Int. J. Appl. Math. and Statistics. — 2007. — Vol. 10, № 507. — P. 50–69.
48. Матус, П.П. Коэффициентная устойчивость решения разностной схемы, аппроксимирующей смешанную задачу для полулинейного параболического уравнения / П.П. Матус, С.В. Лемешевский // Диффенц. уравнения. — 2018. — Т. 54, № 7. — С. 947–955.
49. Лемешевский, С.В. Устойчивость решений дифференциально-операторных уравнений второго порядка и их разностных аппроксимаций / С.В. Лемешевский, П.П, Матус // Дифференц. уравнения. — 2020. — Т.56, № 7 — С. 948–959.
50. Самарский, А.А. Монотонные разностные схемы для эллиптических уравнений со смешанными производными / Самарский, А.А. [и др.] // Докл. РАН. — 2000. — Т. 370, № 4. — С. 445–448.
51. Самарский, А.А. Монотонные разностные схемы для уравнений со смешанными производными / А.А. Самарский [и др.] // Мат. моделирование. — 2001. — Т. 13, № 2. — С. 17–26.
52. Matus, P. Difference schemes for elliptic equations with mixed derivatives / P. Matus, I. Rybak // Comput. Meth. Appl. Math. 2004. — Vol. 5, № 4. — P. 494–505.
53. Матус, П.П. Монотонные разностные схемы второго порядка точности для квазилинейных параболических уравнений со смешанными производными / П.П. Матус, Л.М. Хиеу, Д. Пылак // Диффенц. уравнения. — 2019. — Т. 55, № 3. — С. 428–440.
54. Matus, P. On convergence of difference schemes for Dirichlet IBVP for two-dimensional quasilinear parabolic equations with mixed derivatives and generalized solutions / P. Matus, D. Poliakov, L. M. Hieu // Comput. Meth. Appl. Math. — 2020. — Vol. 20, № 4. — P. 695–707.
55. Gaspar, F.J. Numerical methods for a one-dimensional non-linear Biot’s model / F.J. Gaspar [et al.]  // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2016. — Vol. 293. — P. 62–72.
56. Gaspar, F.J. Monotone finite difference schemes for quasilinear parabolic problems with mixed boundary conditions / F.J. Gaspar [et al.] // Comp. Meth. Appl. Math. — 2016. — Vol. 16, № — P. 231–243.
57. Matus, P. Vulkov Analysis of second order difference schemes on non-uniform grids for quasilinear parabolic equations / P. Matus, L.M. Hieu, G. Lublin // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2017. — Vol. 310. — P.186–199.
58. Йованович, Б.С. Об асимптотической устойчивости дифференциально-операторных уравнений первого и второго порядка/ Б.С. Йованович, П.П. Матус // Дифференц. уравнения. — 2003. — Т.39, № 3. — С. 383–392.
59. Матус, П.П. Об устойчивости монотонной разностной схемы для уравнения Бюргерса / П.П. Матус, Г.Л. Марцинкевич // Дифференц. уравнения. — 2005. — Т. 41, № 7. — С. 955–960.
60. Matus, P. Stability and monotonicity of difference schemes for nonlinear scalar conservation laws and multidimensional quasi-linear parabolic equations / P. Matus, S.V. Lemeshevsky // Comput. Method Appl. Math. — 2009. — Vol. 9, №. 3. —              253–280.
61. Matus, P. Monotone difference schemes for weakly coupled elliptic and parabolic systems / P. Matus [et al.] // Comp. Meth. Appl. Math. — 2017. — Vol. 17, № 2. — P. 287–298.
62. Матус, П.П. Монотонные разностные схемы на неравномерных сетках для двумерного квазилинейного уравнения конвекции-диффузии / П.П. Матус, Л.М. Хиеу // Доклады НАН Беларуси. — 2017. — Т. 61, № 4. — С. 7–13.
63. Matus, P. Analysis of second order difference schemes on non-uniform grids for quasilinear parabolic equations / P. Matus, L.M. Hieu, G. Vulkov // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2017. — Vol. 310. — P.186–199.
64. Матус, П. П. Компактные и монотонные разностные схемы для параболических уравнений / П.П. Матус, Б.Д. Утебаев // Математическое моделирование. — 2021. — Т.33, №4. — С. 60–78.
65. Матус, П.П. Компактные разностные схемы на трёхточечном шаблоне для гиперболических уравнений второго порядка / П.П, Матус, Х.Т.К. Ань // Дифференц. уравнения. — 2021. — Т.57, №7. — С. 963–975.
66. Матус, П.П. Компактные разностные схемы для многомерного уравнения Клейна–Гордона / П.П, Матус, Х.Т.К. Ань // Дифференц уравнения. — 2022. — Т.58, №1. — С. 120–138.
67. Матус, П.П. Монотонные схемы произвольного порядка точности для уравнения переноса / П.П. Матус, Б.Д. Утебаев // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2021.Т.62. №3, c. 367-380.
68. Матус, П. П. Компактные и монотонные разностные схемы для обобщенного уравнения Фишера / П.П. Матус, Б.Д. Утебаев // Дифференц. уравнения. — 2022. — Т.58, № 7. — С. 947–961.
69. Матус, П. П. Компактные разностные схемы на трехточечном шаблоне для гиперболо-параболических уравнений с постоянными коэффициентами / П.П. Матус, Х.Т.К. Ань, Д. Пылак // Дифференц. уравнения. — 2022. — Т.58, № 8. — С. 1281–1293.
70. Модель академика А.А. Самарского: Избранные статьи. Очерки. Документы / Б.Н. Четверушкин [и др.]. — М.: МАКС Пресс, 2019. — 416 с.
71. Самарский, А.А. Разностные схемы повышенного порядка точности на неравномерных сетках / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, П.П. Матус // Дифференц. уравнения. — 1996. — Т.32, № 2. — C.265–274.
72. Самарский, А.А. Разностные схемы повышенного порядка аппроксимации на неравномерных сетках для эллиптических уравнений / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, П.П. Матус // Докл. НАН Беларуси. — 1996. — Т.40, № 5. — С.9–14.
73. Самарский, А.А. Разностные схемы второго порядка точности на неравномерных сетках / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, П.П. Матус // Журн. вычисл. математики и матем. физ. — 1998. — Т. 38, № 3.  — С. 413–424.
74. Самарский, А.А. Разностные схемы на неравномерных сетках для двумерного параболического уравнения / А.А. Самарский, В.И. Мажукин, П.П. Матус // Дифференц. уравнения. — 1998. — Т. 34, № 7.  — С. 980–987.
75. Самарский, А.А. Разностная схема повышенного порядка аппроксимации для задачи Дирихле в произвольной области / А.А. Самарский [и др.] // Докл. НАН Беларуси. — 1998. — Т. 42, № 1. — С. 13–17.
76. Samarskii A.A. Difference Schemes of Second Order of Approximation for Multidimensional Elliptic Equations in Arbitrary Area / A.A. Samarskii [et al.] // In: Proc. of the Intern. Conference FDM, Russe, Bulgaria, 1997, Finite-Difference Methods: Theory and Application, A. A. Samarskii, Lubin G. Vulkov, and Petr N. Vabishchevich (Eds.), NOVA Science Publishers, 1999. P. 221–227.
77. Самарский, А.А. Монотонные разностные схемы повышенного порядка точности на неравномерных сетках для задач конвекции-диффузии / А.А. Самарский. П.П. Матус, В.Г. Рычагов // Матем. моделирование. — 1997. — Т.9, №2. — С.95–96.
78. Мицкевич, М.К. О тепловом состоянии электродов при чистовой электроэрозионной обработке / М.К. Мицкевич [и др.] // Электронная обработка материалов. 1986. №4. С.12-16.
79. Колдоба, А.В. Математическое моделирование течения жидкости в разветвленных гидравлических системах / А.В. Колдоба [и др.] // Матем. моделирование. — 1992. — Т.4, №9. — С.43–54.
80. Ананич, С.Э. Разностные схемы для уравнения Больцмана-Фоккера-Планка / С.Э. Ананич, П.П. Матус, И.Е. Мозолевский // Матем. моделирование. — 1997. — Т.9, №1. — С.99–115.
81. Комаров, Ф.Ф. Распределение внедренной примеси и выделенной энергии при высокоэнергетической ионной имплантации / Ф.Ф. Комаров [и др.] // ЖТФ. — 1997. — Т.67, №1. — С.61–67.
82. Komarov, F.F. Distribution of implanted impurities and deposited energy in high-energy ion implantation / F.F. Komarov [et al.] // Nucl. Instr. and Meth. B 97. — 1997. — №124. — P.478–483.