Вениамин Григорьевич Кротов родился 7 мая 1949 года в г. Москва. В 1966 году после окончания средней школы поступил на механико-математический факультет Одесского государственного университета им. И.И.Мечникова, который закончил в 1971 году. После окончания университета один год работал учителем Яссковской средней школы Беляевского района Одесской области.
С 1972 по 1974 год обучался в аспирантуре при кафедре математического анализа Одесского университета под руководством В.А. Андриенко.
В 1974 году досрочно закончил обучение в аспирантуре и защитил кандидатскую диссертацию «Коэффициенты разложений по базисам функциональных пространств и представление измеримых функций рядами» по специальности «математический анализ». После защиты диссертации стал работать на той же кафедре сначала в должности ассистента (1974-1975), а затем старшего преподавателя (1975-1978) и доцента (1978-1990). В 1979-1987 гг. был заместителем декана механико-математического факультета по научной работе. В 1984-1990 гг. был ученым секретарем специализированного совета по защите кандидатских диссертаций. В 1990 году защитил в Институте математики АН УССР диссертацию «Граничное поведение и дифференциальные свойства гладких функций многих переменных» на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности «математический анализ». С 1990 года работал на кафедре математического анализа в должности профессора, а также был заместителем председателя специализированного совета по защите докторских диссертаций в Одесском университете.
В 1993 году В.Г.Кротов переехал из Одессы в Минск и в период 1993-1996 гг. работал профессором кафедры современных технологий образования Белорусской государственной политехнической академии. В 1996 году перешел на работу в Академию управления при Президенте Республики Беларусь, где работал в должностях ведущего научного сотрудника и профессора кафедры информационных технологий управления.
С 1998 года перешел на должность профессора кафедры теории функций в Белорусском государственном университете на механико-математическом факультете. С 2002 по 2010 год работал заведующим кафедрой математических методов теории управления. С 2010 года по 2021 год заведовал кафедрой теории функций.
Научные интересы В.Г.Кротова связаны с различными областями математического анализа. Первые его работы были связаны с поведением коэффициентов по классическим (системы Хаара и Фабера-Шаудера) и общим базисам в функциональных пространствах. Затем его научные интересы переместились в теорию представления измеримых функций рядами, где ему, в частности, удалось построить первые конкретные примеры универсальных рядов, доказать существование универсальных базисных разложений.
В 1975 году была опубликована работа, в которой В.Г.Кротов, П.Освальд и Э.А.Стороженко перенесли на случай несуммируемых функций знаменитое неравенство Джексона для наилучших приближений тригонометрическими полиномами. Этот результат входит теперь почти во все монографии по теории приближения функций и очень часто цитируется.
После защиты кандидатской диссертации В.Г.Кротов был направлен в годичную стажировку в Математический институт Яноша Бойяи Университета Йожефа Аттилы (г. Сегед, Венгрия). В этом университете учились и в разные годы работали такие знаменитые математики, как Ф.Рисс, М.Рисс, А.Хаар, Л.Фейер, Б.Секефальви-Надь. Руководитель стажировки академик Л.Лейндлер предложил В.Г.Кротову исследовать вопросы сильной суммируемости рядов Фурье. Полученные в этом направлении результаты вошли в монографию Л.Лейндлера по сильной суммируемости.
Основные результаты В.Г.Кротова в теории представления функций тригонометрическими рядами связаны с исследованиями Н.Н.Лузина, Д.Е.Меньшова и Н.К.Бари. Для любой измеримой функции Н.Н.Лузин построил непрерывную функцию, производная которой почти всюду совпадает с ней. Д.Е.Меньшов для любой измеримой функции построил тригонометрический ряд Фурье-Стилтьеса, сходящийся к ней почти всюду (даже для суммируемых функций ряды Фурье для этого не подходят – это установил А.Н.Колмогоров). Н.К.Бари доказала объединенный вариант теорем Н.Н.Лузина и Д.Е.Меньшова (такая задача была поставлена А.Н.Колмогоровым). В.Г.Кротов нашел оптимальную гладкость функций из теоремы Лузина-Меньшова-Бари, ряды Фурье-Стилтьеса которых представляют произвольные измеримые функции в смысле сходимости почти всюду. Методы, разработанные для этого, были использованы затем для построения универсальных функций Марцинкевича с максимально возможной гладкостью и следующим дополнительным свойством: ряд Фурье-Стилтьеса этой функции является универсальным в смысле сходимости почти всюду подпоследовательностей его частичных сумм.
С конца 70-х годов В.Г.Кротов под влиянием лидера одесской школы теории функций профессора Э.А.Стороженко приобщается к исследованиям по комплексному анализу, связанным с пространствами Харди. В этом направлении исследования В.Г.Кротова были связаны, в основном, со следующими двумя задачами. Первая – какими дифференциальными свойствами обладают граничные значения функций из классов Харди-Соболева (гармонических или аналитических функций в многомерном комплексном шаре, гармонических функций или температур в полупространстве). Исчерпывающее решение этой задачи было дано в терминах дифференциалов Кальдерона-Зигмунда.
Затем его внимание привлекла новая тематика, связанная с касательным граничным поведением функций из пространств Харди. Хорошо известно, что функции из классов Харди имеют пределы почти всюду на границе области определения вдоль подходящего семейства областей (например, некасательные области для функций в единичном круге). Этот эффект называют обычно свойством Фату, который впервые обнаружил его. Литтлвуд показал, что форма областей в свойстве Фату является точной и по более широким областям пределы уже не обязаны существовать. Задача состояла в следующем: дать точное количественное описание свойства Фату для функций, имеющих дополнительную гладкость. Исследования в этом направлении тогда только начинались в работах И.Стейна, А.Нагеля, У.Рудина. С помощью нового метода, существенно отличного от методов предшественников, В.Г.Кротову удалось получить существенное продвижение в ряде сложных задач о характере граничного поведения функций различной природы. Полученные результаты носят общий характер и имеют многочисленные приложения к гармоническим и голоморфным функциям из классов Харди-Соболева для многих переменных, а также к граничному поведению решений краевых задач для эллиптических и параболических уравнений в евклидовых пространствах. В конкретных приложениях эти результаты носят точный характер и не допускают улучшения.
В последние годы В.Г.Кротов вместе со своими учениками занимается анализом на метрических пространствах с мерой, удовлетворяющих условию удвоения (пространства однородного типа по устоявшейся терминологии). На такие пространства удалось перенести многое из классического анализа на эвклидовых пространствах. Это относится к теории сингулярных интегральных операторов, теории пространств Харди и других важных разделов современного анализа. В частности, на такие пространства удалось перенести теорию классов Соболева первого порядка. Конечно, такие пространства не могут определяться как обычно – с помощью обобщенных производных. Подходящую роль выполняют неравенства локальной гладкости и максимальные операторы, контролирующие такую гладкость (эти объекты и возможности их использования восходят к А.Кальдерону). Исследованию в такой общей ситуации поддаются не все факты о классах Соболева, а лишь те, которые не связаны с гармоническим анализом. В работах В.Г.Кротова и его учеников исследованы следующие задачи о классах Соболева на пространствах однородного типа: различные описания этих пространств, теоремы вложения Харди-Литтлвуда-Соболева, а также тонкие свойства функций (так называются свойства функций, которые могут меняться при изменении значений функции на множествах меры нуль). Основные решенные в этом направлении задачи – оценки для исключительного множества в теоремах о точках Лебега (в которых интегральные средние сходятся) и об аппроксимации Лузина для функций из пространств Соболева. Решение дано в терминах соответствующих емкостей, а также мер и размерностей Хаусдорфа. Принципиальным здесь является то, что изучены также случаи, когда функции из классов Соболева не обязаны быть суммируемыми. При этом показано, что в классическом случае пространств Соболева на евклидовых пространствах эти результаты точны и не допускают усиления.
В.Г.Кротов является автором 180 научных работ. Его регулярно приглашают для чтения лекций на международных конференциях и школах. Он является членом Оргкомитета ряда регулярных математических школ и конференций:
- Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функций и их приложения», г. Саратов, Россия, проводится с 1982 года,
- Казанская международная школа-конференция «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы», г. Казань, Россия, проводится с 1992 года,
- Международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения», Абрау-Дюрсо, Россия, проводится с 1999 года.
Долгое время (1974-1992) В.Г.Кротов был постоянным сотрудником Реферативного журнала «Математика».
Научная деятельность В.Г.Кротова тесно связана с педагогической работой, его учениками являются девять кандидатов и один доктор физико-математических наук.
На протяжении педагогической деятельности читал для студентов механико-математических факультетов различные курсы лекций, среди которых: математический анализ, функциональный анализ, теория функций комплексного переменного, теория вероятностей и математическая статистика, введение в математику, стохастический анализ финансовых рынков, а также ряд специальных курсов, связанных с различными разделами математического анализа (теория приближения функций, базисы в пространствах Банаха, функциональные пространства, гармонический анализ на евклидовых пространствах, теория пространств Харди, интегральные операторы, ортогональные ряды и др.).
Автор ряда учебных пособий с грифами Министерства образования Республики Беларусь
- «LATEX Компьютерная система подготовки математических текстов», Минск: БГУ, 2010, 250 стр. (соавтор Ляликов А.А.),
- «Математический анализ», Минск: БГУ, 2017, 375 стр.,
- «Теория функций комплексного переменного», Минск: Вышейшая школа, 2019, 430 стр. (соавторы Ровба Е.А., Старовойтов А.П., Сетько Е.А., Смотрицкий К.А. ).
Ведет активную научную, методическую и общественную деятельность. Был членом экспертного совета по математике ВАК Республики Беларусь (2005-2011), председатель совета по физико-математическим наукам Д 02.01.07, секретарь совета по педагогическим наукам Д 02.01.23, председатель секции математики Учебно-методического объединения Министерства образования Республики Беларусь. С 1999 года является председателем научно-методической комиссии механико-математического факультета.