Леонид Антонович Черкас родился 1 января 1937 года в деревне Докторовичи Копыльского района Минской области в семье учителей, всю жизнь проработавших в школе. С 1944 г. учился в средней школе д. Бучатино, а с 1946 г. — в средней школе д. Семежево. Учился охотно и успешно, уже в то время увлекался математикой. По окончании средней школы в 1954 г. поступил на отделение математики физико-математического факультета Белгосуниверситета, где учился до 1959 г. Яркие лекции и факультативы профессора А.Д. Мышкиса оказали решающее влияние на желание заниматься дифференциальными уравнениями. Увлекался спортом,
входил в сборную университета по фехтованию.
По окончании университета в 1959 г. поступил в аспирантуру при кафедре дифференциальных уравнений Белгосуниверситета (научный руководитель, академик Н.П.Еругин, основатель школы дифференциальных уравнений в Беларуси). После окончания аспирантуры в 1962 г. в должности старшего преподавателя кафедры высшей математики работал в Могилевском машиностроительном институте (1962-1964 гг.). В 1964 г. защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по качественной теории дифференциальных уравнений.
С 1964 г. работал в Белорусском государственном университете информатики и радиоэлектроники, сначала в должности старшего преподавателя, затем доцента, профессора кафедры высшей математики. В 1969-1971 гг. и 1981-1998 гг. был заведующим кафедрой.
В 1986 г. защитил диссертацию на соискание ученой степени доктора физико-математических наук на тему «Предельные циклы автономных полиномиальных систем». В 1987 г. Л.А. Черкасу была присвоена данная ученая степень. В 1988 г. решением Министерства высшего и среднего специального образования СССР присвоено ученое звание профессора на кафедре высшей математики.
Л.А. Черкас является автором свыше 100 научных трудов, большинство из которых по тематике относятся к качественной теории и теории бифуркаций динамических систем на плоскости. Основные его научные исследования посвящены решению проблемы оценки числа и локализации предельных циклов, проблеме различения центра и фокуса, изучению бифуркационных многообразий, разработке направлений качественного исследования систем с применением численных методов и использования для этих целей возможностей современных компьютерных систем. По сути, Леонид Антонович является одним из пионеров мирового уровня в системном исследовании предельных циклов.
При исследовании зависимости предельных циклов автономных систем на вещественной плоскости от параметра, поворачивающего поле, Л.А. Черкас ввел функцию предельных циклов, позволяющую нелокально определить содержащее их многообразие. Доказана аналитичность указанной функ-
ции в области ее определения, а в случае бифуркации Андронова-Хопфа и в особой точке. Изучена связь между аналитическими свойствами этой функции и кратностью предельных циклов, содержащихся в области ее определения. Описаны техника разложения функции в ряд в окрестности фокуса и ее применение для локализации предельных циклов, рождающихся из кратного фокуса. Построены конкретные системы типа Льенара с заданным числом предельных циклов в окрестности фокуса. Изучены бифуркационные многообразия, связанные с бифуркациями предельных циклов семейств систем с параметрами, один из которых поворачивает поле.
При изучении предельных циклов, порождаемых сепаратрисными циклами, рассмотрена аналитическая структура функции последования в окрестности простого сепаратрисного цикла при возмущении полиномиальной системы. Таким образом, обобщены условия Дюлака устойчивости сепаратрисн ых циклов и получены условия устойчивости сепаратрисного цикла квадратичной системы в критическом случае. Для автономной системы на комплексной плоскости с вещественным временем и с рациональными
функциями относительно фазовых переменных в качестве правых частей указаны достаточные условия конечности числа предельных циклов, не гомотопных на решениях соответствующего уравнения, и изучены их бифуркации.
Введено понятие особого периодического решения для более общего уравнения и получены достаточные условия его отсутствия.
Л.А. Черкасом на основе принципа обобщенной симметрии решена проблема различения центра и фокуса в случае двух чисто мнимых корней характеристического уравнения двумерных автономных систем с полиномиальными правыми частями, сводящихся к уравнению Льенара. Разработанный им для этого алгебраический метод нахождения условий центра не требует определения фокусных величин, а сводится к алгебраической задаче нахождения условий, при которых две алгебраические кривые имеют общую ветвь. Этим методом, который уже часто называют методом Черкаса, найден конечный алгоритм вычисления условий центра для системы, соответствующей уравнению нелинейных ко-
лебаний второго порядка с нелинейностями по скорости до членов третьего порядка включительно и произвольными рациональными функциями по координате. Найдены конечные условия центра для отличных от начала координат особых точек полиномиальной системы с линейными членами и однородными нелинейностями любого данного порядка. Для систем, сводящихся к уравнению Льенара, получены достаточные конечные условия разновидности центра, замкнутые кривые которого окружают три особые точки. Проведена оценка порядка цикличности фокуса уравнения Льенара.
Л.А. Черкасом развиты и обобщены многие известные признаки отсутствия и единственности предельного цикла, получены новые достаточные условия отсутствия предельных циклов, доказан достаточный признак существования не более двух предельных циклов в двусвязной области, аналогичный
критерию Бендиксона-Дюлака существования не более одного предельного цикла. Рассмотрен вопрос рождения предельных циклов из негрубого фокуса или центра, в частности, им обоснована возможность появления из фокуса квадратичной системы трехкратного цикла, а также двухкратного и просто-
го предельных циклов. Для исследования квадратичных систем Л.А. Черкасом были введены их канонические формы с параметрами, поворачивающими поле, к которым может быть сведена любая такая система. Для квадратичных систем доказано отсутствие предельных циклов, окружающих трехкратный фокус, а также в случаях наличия у нее частного интеграла в виде прямой и негрубого фокуса или двух особых точек, в
которых дивергенция векторного поля системы равна нулю. Найдены достаточные условия, при которых система, обладающая прямой в качестве частного интеграла, имеет не более одного предельного цикла, а система с единственной особой точкой в конечной части плоскости и единственной особой точкой типа седло-узел на бесконечности имеет не более одного предельного цикла.
Проведена классификация сепаратрисных циклов с учетом их устойчивости и дана также классификация бифуркаций
предельных циклов квадратичных систем при изменении параметра, поворачивающего поле. Исследованы некоторые общие свойства подмножества в пространстве параметров, которому соответствуют системы с предельными циклами. При исследовании бифуркаций коразмерности один и два предельных циклов пятипараметрического семейства квадратичных систем, из которых два параметра поворачивают поле, изучено поведение кривых сепаратрисных циклов, кратных предельных циклов и негрубых фокусов в плоскости двух указанных параметров в случае, когда система имеет в конечной части
плоскости два антиседла. Установлено, что параметрические семейства квадратичных систем могут иметь: многообразие предельных циклов без точек бифуркации Андронова-Хопфа; сепаратрисный цикл вокруг негрубого фокуса при наличии двух седел на бесконечности и критического случая устойчивости; сложную кривую сепаратрисных циклов на плоскости двух параметров, поворачивающих поле при существовании трех конечных антиседел и одного седла на бесконечности.
В последние годы жизни основной интерес Л.А. Черкаса был направлен на развитие и обобщение метода Дюлака для оценки числа предельных циклов динамических систем на плоскости, основанный на построении некоторой функции (которую по праву можно назвать функцией Черкаса) и
позволяющий избежать многие трудности, возникавшие в применении классического варианта. Такой подход позволяет оценку числа предельных циклов и их локализацию проводить автоматически по кривой, соответствующей функции Черкаса, а построение самой этой функции осуществлять в виде линейной комбинации произвольных базисных функций, то есть свести ее нахождение к решению задачи линейного программирования. Для нахождения функции Черкаса такого вида в ограниченной области фазовой плоскости разработаны методы, основанные на: редукции к сеточной задаче линейного программирования; использовании вспомогательной функции, зависящей только от одной фазовой переменной в случае системы Льенара и сводящихся к ней классов систем; применении сплайн-аппроксимаций функций; применении модифицированной функции при наличии негрубого фокуса в рассматриваемой области; редукции к трансверсальности кривых, определяемых функцией Черкаса и вспомогательной функцией; нахождении критических точек условного экстремума вспо-
могательной функции. На их основе разработана алгебраическая процедура построения таких функций. Одновременно для параметрических семейств систем с параметром, поворачивающим поле, разработан численный метод построения функции предельных циклов и кривой кратных циклов, а также методы их исследования с использованием функций Дюлака, Черкаса и Пуанкаре.
Для многих классов систем на основе таких функций получены глобальные оценки числа предельных циклов и их локализация. Так, для квадратичных систем построены примеры со всеми возможными распределениями предельных циклов нормальных размеров, а также примеры таких систем с негрубым фокусом и максимальным числом предельных циклов нормального размера для всех возможных конфигураций особых точек, для ряда случаев таких систем получено подтверждение гипотезы Коппеля. Кроме того, для двухпараметрических канонических семейств со всеми возможными конфигурациями конечных особых точек и негрубым фокусом в плоскости этих параметров определены области существования предельных циклов вокруг негрубого фокуса, ограниченные кривыми: двухкратных фокусов, сепаратрисных циклов и двукратных предельных циклов. Для систем Льенара специального вида с нелинейностями до 11 степени включительно подтверждена гипотеза Смейла о числе предельных циклов. Для большинства представленных методов Л.А. Черкасом разработано программное обеспечение
в среде пакета «Mathematica».
Труды Л.А. Черкаса, отличающиеся как своей строгостью, так и доступностью изложения результатов, давно признаны ведущими специалистами в мире по качественной теории и теории бифуркаций. Многие из них по частоте цитирования уже можно считать классическими. Л.А. Черкас поддерживал научные связи не только со специалистами из Беларуси и стран СНГ, но и из Германии, Польши, Испании, Китая, Франции, Бельгии, США, Великобритании. Участвовал в подготовке и аттестации научных кадров высшей квалификации. Осуществлял руководство дипломниками и аспирантами на кафедре дифференциальных уравнений БГУ.
Под его научным руководством защищены 8 кандидатских и докторская диссертации. Л.А. Черкас много лет был членом докторского совета при Институте математики Национальной академии наук Беларуси, членом Совета по защитам при Гродненском государственном университете и ученым секретарем Экспертного совета по математике Высшей аттестационной комиссии Республики Беларусь. Являлся автором и рецензентом журнала «Дифференциальные уравнения». Дважды выступал на международных научно-методических конференциях, являясь корреспондентом рабочей группы по математике Европейского общества инженеров.
Отношение Л.А. Черкаса к решению любой рассматриваемой им задачи отличалось системным подходом, всесторонним анализом, четкостью изложения, эффективностью в прикладном использовании и перспективностью для дальнейшего развития.